Fokker-Planck Equation
一维情形
考察如下随机微分方程 (SDE)： \[ X_t=f(X_t,t)\mathrm dt+g(X_t,t)\mathrm dW_t \] 其中 \(W_t\) 是维纳过程，\(f(X_t,t)\) 是 drift 系数，\(g(X_t,t)\) 是 diffusion 系数。Fokker-Planck 方程描述了满足该 SDE 的 \(X_t\) 的概率密度 \(p(x,t)\) 随时间的变化情况。
准备工作
在极小的 \(\Delta t\) 时间内，上述 SDE 可以离散化为： \[ \Delta X_t=f(X_t,t)\Delta t+g(X_t,t)\Delta W_t \] 其中变化量 \(\Delta X_t=X_{t+\Delta t}-X_t\)，随机项变化量 \(\Delta W_t=W_{t+\Delta t}-W_t\sim\mathcal N(0,\Delta t)\).
假设给定 \(X_t=z\)，则变化量的一阶矩为： \[ \mathbb E\left[\Delta X_t\vert X_t=z\right]=\mathbb E\left[f(X_t,t)\Delta t+g(X_t,t)\Delta W_t\vert X_t=z\right]=f(z,t)\Delta t \] 二阶矩为： \[ \begin{align} \mathbb E\left[\Delta X_t^2\vert X_t=z\right]&=\mathbb E\left[f^2(X_t,t)\Delta t^2+f(X_t,t)g(X_t,t)\Delta t\Delta W_t+g^2(X_t,t)\Delta W_t^2\vert X_t=z\right]\\ &=f^2(z,t)\Delta t^2+0+g^2(z,t)\Delta t\\ &=g^2(z,t)\Delta t+o(\Delta t) \end{align} \] 更高阶的矩都是 \(o(\Delta t)\). 我们将在后续推导中使用上述结论。
推导过程
考察从 \(t\) 时刻到 \(t+\Delta t\) 时刻的转移，有： \[ p(x,t+\Delta t)=\int p(x,t+\Delta t\vert z,t)p(z,t)\mathrm dz \] 等式两边同时乘上任一光滑紧支的辅助函数 \(R(x)\)，并对 \(x\) 积分，得： \[ \text{LHS}=\int R(x)p(x,t+\Delta t)\mathrm dx=\iint R(x) p(x,t+\Delta t\vert z,t)p(z,t)\mathrm dx\mathrm dz=\text{RHS} \] 将左式中的 \(p(x,t+\Delta t)\) 在 \(t\) 处展开： \[ p(x,t+\Delta t)=p(x,t)+\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\Delta t+o(\Delta t) \] 代回左式得： \[ \text{LHS}=\int R(x)p(x,t)\mathrm dx+\Delta t\int R(x)\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\mathrm dx+o(\Delta t) \] 对右式，将 \(R(x)\) 在 \(z\) 处展开： \[ R(x)=R(z)+R'(z)(x-z)+\frac{1}{2}R''(z)(x-z)^2+o((x-z)^2) \] 与右式中的 \(p(x,t+\Delta t\vert z,t)\) 相结合，有： \[ \begin{align} \int R(x)p(x,t+\Delta t\vert z,t)\mathrm dx =&~\int R(z)p(x,t+\Delta t\vert z,t)\mathrm dx\\ &+\int R'(z)(x-z)p(x,t+\Delta t\vert z,t)\mathrm dx\\ &+\frac{1}{2}\int R''(z)(x-z)^2p(x,t+\Delta t\vert z,t)\mathrm dx\\ &+o((x-z)^2)\\ =&~R(z)+R'(z)f(z,t)\Delta t+\frac{1}{2}R''(z)g^2(z,t)\Delta t+o(\Delta t) \end{align} \] 其中最后一行使用了准备工作中给出的结论。代回右式，得： \[ \text{RHS}=\int R(z)p(z,t)\mathrm dz+\Delta t\left[\int R'(z)f(z,t)p(z,t)\mathrm dz+\frac{1}{2}\int R''(z)g^2(z,t)p(z,t)\mathrm dz\right]+o(\Delta t) \] 对括号中 \(\Delta t\) 的一阶项，做分部积分得（假设概率密度 \(p(z,t)\) 在无穷远处为零）： \[ \int R'(z)f(z,t)p(z,t)\mathrm dz=-\int R(z)\frac{\partial}{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]\mathrm dz \] 以及： \[ \begin{align} \frac{1}{2}\int R''(z)g^2(z,t)p(z,t)\mathrm dz&=-\frac{1}{2}\int R'(z)\frac{\partial}{\partial z}[g^2(z,t)p(z,t)]\mathrm dz=\frac{1}{2}\int R(z)\frac{\partial^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]\mathrm dz \end{align} \] 因此： \[ \text{RHS}=\int R(z)p(z,t)\mathrm dz+\Delta t\int R(z)\left[-\frac{\partial}{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]\right]\mathrm dz+o(\Delta t) \] 左右式相等，发现 \(\Delta t\) 的零阶项相互抵消，再忽略高阶项，则只剩下一阶项： \[ \int R(x)\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\mathrm dx=\int R(z)\left[-\frac{\partial}{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]\right]\mathrm dz \] 右边积分变量改写作 \(x\)，移项合并得： \[ \int R(x)\left[\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}[f(x,t)p(x,t)]-\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[g^2(x,t)p(x,t)]\right]\mathrm dx=0 \] 根据 \(R(x)\) 的任意性，括号内应为零，即： \[ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial x}[f(x,t)p(x,t)]+\frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}[g^2(x,t)p(x,t)]\tag{Fokker-Planck Equation} \] 这就是 Fokker-Planck 方程。
多维情形
上文我们推导了一维情形下的 FP 方程，该结论可以推广到多维情形下。设有 \(\mathbb R^d\) 空间中的 SDE： \[ \mathrm d\mathbf x_t=\mathbf f(\mathbf x_t,t)\mathrm dt+\mathbf G(\mathbf x_t,t)\mathrm d\mathbf w_t \] 其中 \(\mathbf f(\cdot,t):\mathbb R^d\to\mathbb R^d\) 为 drift 系数，\(\mathbf G(\cdot,t):\mathbb R^d\to\mathbb R^{d\times d}\) 为 diffusion 系数，则其 FP 方程为： \[ \frac{\partial p(\mathbf x,t)}{\partial t}=-\sum_{i=1}^d\frac{\partial}{\partial x_i}[f_i(\mathbf x,t)p(\mathbf x,t)]+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^d\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\left[\sum_{k=1}^dG_{ik}(\mathbf x,t)G_{jk}(\mathbf x,t)p(\mathbf x,t)\right] \] 特别地，若将 diffusion 系数简化为 \(\mathbf G(\mathbf x_t,t)=g(t)\mathbf I\)，此时 FP 方程简化为： \[ \frac{\partial p(\mathbf x,t)}{\partial t}=-\nabla_{\mathbf x}\cdot[\mathbf f(\mathbf x,t)p(\mathbf x,t)]+\frac{1}{2}g^2(t)\Delta_{\mathbf x}p(\mathbf x,t) \] 其中 \(\Delta_{\mathbf x}=\nabla_{\mathbf x}\cdot\nabla_{\mathbf x}\) 表示拉普拉斯算子。
参考资料
- Nikola Petrov. Derivation of the Fokker-Planck equation. https://math.ou.edu/~npetrov/fokker-planck.pdf ↩︎
- M. R. Rahimi Tabar. Kramers–Moyal Expansion and Fokker–Planck Equation. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-030-18472-8_3.pdf ↩︎