Fokker-Planck Equation

一维情形

考察如下随机微分方程 (SDE)： $$X_t=f(X_t,t)\mathrm{d}t+g(X_t,t)\mathrm{d}{W}_t$$ 其中 $W_t$ 是维纳过程，$f(X_t,t)$ 是 drift 系数，$g(X_t,t)$ 是 diffusion 系数。Fokker-Planck 方程描述了满足该 SDE 的 $X_t$ 的概率密度 $p(x,t)$ 随时间的变化情况。

准备工作

在极小的 $\mathrm{\Delta }t$ 时间内，上述 SDE 可以离散化为： $$\mathrm{\Delta }{X}_t=f(X_t,t)\mathrm{\Delta }t+g(X_t,t)\mathrm{\Delta }{W}_t$$ 其中变化量 $\mathrm{\Delta }{X}_t=X_{t+\mathrm{\Delta }t}-X_t$，随机项变化量 $\mathrm{\Delta }{W}_t=W_{t+\mathrm{\Delta }t}-W_t\sim \mathcal{N}(0,\mathrm{\Delta }t)$.

假设给定 $X_t=z$，则变化量的一阶矩为： $$\mathbb{E}[\mathrm{\Delta }{X}_t|X_t=z]=\mathbb{E}[f(X_t,t)\mathrm{\Delta }t+g(X_t,t)\mathrm{\Delta }{W}_t|X_t=z]=f(z,t)\mathrm{\Delta }t$$ 二阶矩为： $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[\mathrm{\Delta }{X}_t^2|X_t=z]& =\mathbb{E}[f^2(X_t,t)\mathrm{\Delta }{t}^2+f(X_t,t)g(X_t,t)\mathrm{\Delta }t\mathrm{\Delta }{W}_t+g^2(X_t,t)\mathrm{\Delta }{W}_t^2|X_t=z]\\ & =f^2(z,t)\mathrm{\Delta }{t}^2+0+g^2(z,t)\mathrm{\Delta }t\\ & =g^2(z,t)\mathrm{\Delta }t+o(\mathrm{\Delta }t)\end{array}$$ 更高阶的矩都是 $o(\mathrm{\Delta }t)$. 我们将在后续推导中使用上述结论。

推导过程

考察从 $t$ 时刻到 $t+\mathrm{\Delta }t$ 时刻的转移，有： $$p(x,t+\mathrm{\Delta }t)=\int p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)p(z,t)\mathrm{d}z$$ 等式两边同时乘上任一光滑紧支的测试函数 $R(x)$，并对 $x$ 积分，得： $$\text{LHS}=\int R(x)p(x,t+\mathrm{\Delta }t)\mathrm{d}x=\iint R(x)p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)p(z,t)\mathrm{d}x\mathrm{d}z=\text{RHS}$$ 将左式中的 $p(x,t+\mathrm{\Delta }t)$ 在 $t$ 处展开： $$p(x,t+\mathrm{\Delta }t)=p(x,t)+\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\mathrm{\Delta }t+o(\mathrm{\Delta }t)$$ 代回左式得： $$\text{LHS}=\int R(x)p(x,t)\mathrm{d}x+\mathrm{\Delta }t\int R(x)\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\mathrm{d}x+o(\mathrm{\Delta }t)$$ 对右式，将 $R(x)$ 在 $z$ 处展开： $$R(x)=R(z)+R^{\prime }(z)(x-z)+\frac{1}{2}{R}^{″}(z)(x-z{)}^2+o((x-z{)}^2)$$ 与右式中的 $p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)$ 相结合，有： $$\begin{array}{rl}\int R(x)p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)\mathrm{d}x=& \int R(z)p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)\mathrm{d}x\\ & +\int R^{\prime }(z)(x-z)p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)\mathrm{d}x\\ & +\frac{1}{2}\int R^{″}(z)(x-z{)}^{2}p(x,t+\mathrm{\Delta }t|z,t)\mathrm{d}x\\ & +o((x-z{)}^2)\\ =& R(z)+R^{\prime }(z)f(z,t)\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}{R}^{″}(z)g^2(z,t)\mathrm{\Delta }t+o(\mathrm{\Delta }t)\end{array}$$ 其中最后一行使用了准备工作中给出的结论。代回右式，得： $$\text{RHS}=\int R(z)p(z,t)\mathrm{d}z+\mathrm{\Delta }t[\int R^{\prime }(z)f(z,t)p(z,t)\mathrm{d}z+\frac{1}{2}\int R^{″}(z)g^2(z,t)p(z,t)\mathrm{d}z]+o(\mathrm{\Delta }t)$$ 对括号中 $\mathrm{\Delta }t$ 的一阶项，做分部积分得（假设概率密度 $p(z,t)$ 在无穷远处为零）： $$\int R^{\prime }(z)f(z,t)p(z,t)\mathrm{d}z=-\int R(z)\frac{\partial }{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]\mathrm{d}z$$ 以及： $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\int R^{″}(z)g^2(z,t)p(z,t)\mathrm{d}z& =-\frac{1}{2}\int R^{\prime }(z)\frac{\partial }{\partial z}[g^2(z,t)p(z,t)]\mathrm{d}z=\frac{1}{2}\int R(z)\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]\mathrm{d}z\end{array}$$ 因此： $$\text{RHS}=\int R(z)p(z,t)\mathrm{d}z+\mathrm{\Delta }t\int R(z)[-\frac{\partial }{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]]\mathrm{d}z+o(\mathrm{\Delta }t)$$ 左右式相等，发现 $\mathrm{\Delta }t$ 的零阶项相互抵消，再忽略高阶项，则只剩下一阶项： $$\int R(x)\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}\mathrm{d}x=\int R(z)[-\frac{\partial }{\partial z}[f(z,t)p(z,t)]+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}[g^2(z,t)p(z,t)]]\mathrm{d}z$$ 右边积分变量改写作 $x$，移项合并得： $$\int R(x)[\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x}[f(x,t)p(x,t)]-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[g^2(x,t)p(x,t)]]\mathrm{d}x=0$$ 根据 $R(x)$ 的任意性，括号内应为零，即： $$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}[f(x,t)p(x,t)]+\frac{1}{2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}[g^2(x,t)p(x,t)]$$ 这就是 Fokker-Planck 方程。

多维情形

上文我们推导了一维情形下的 FP 方程，该结论可以推广到多维情形下。设有 ${\mathbb{R}}^d$ 空间中的 SDE： $$\mathrm{d}{\mathbf{x}}_t=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_t,t)\mathrm{d}t+\mathbf{G}({\mathbf{x}}_t,t)\mathrm{d}{\mathbf{w}}_t$$ 其中 $\mathbf{f}(\cdot ,t):{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$ 为 drift 系数，$\mathbf{G}(\cdot ,t):{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^{d\times d}$ 为 diffusion 系数，则其 FP 方程为： $$\frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t}=-\sum _{i=1}^d\frac{\partial }{\partial x_i}[f_i(\mathbf{x},t)p(\mathbf{x},t)]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^d\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}[\sum _{k=1}^d{G}_{ik}(\mathbf{x},t)G_{jk}(\mathbf{x},t)p(\mathbf{x},t)]$$ 特别地，若将 diffusion 系数简化为 $\mathbf{G}({\mathbf{x}}_t,t)=g(t)\mathbf{I}$，此时 FP 方程简化为： $$\frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t}=-{\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}}\cdot [\mathbf{f}(\mathbf{x},t)p(\mathbf{x},t)]+\frac{1}{2}{g}^2(t){\mathrm{\Delta }}_{\mathbf{x}}p(\mathbf{x},t)$$ 其中 ${\mathrm{\Delta }}_{\mathbf{x}}={\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{\mathbf{x}}$ 表示拉普拉斯算子。

参考资料

1. Nikola Petrov. Derivation of the Fokker-Planck equation. https://math.ou.edu/~npetrov/fokker-planck.pdf ↩︎
2. M. R. Rahimi Tabar. Kramers–Moyal Expansion and Fokker–Planck Equation. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-030-18472-8_3.pdf ↩︎