顺序统计量

求概率密度的微元法

若随机变量 \(X\) 的 PDF \(f(x)\)\(x\) 处连续,则: \[ f(x)=\lim_{h\to 0}\frac{P(x< X\leq x+h)}{h} \] 或写作: \[ P(x<X\leq x+h)=f(x)h+o(h) \] 若随机向量 \((X_1,\ldots,X_n)\) 的 PDF \(f(x_1,\ldots,x_n)\) 在点 \((x_1,\ldots,x_n)\) 处连续,则: \[ f(x_1,\ldots,x_n)=\lim_{h_1,\ldots,h_n\to0}\frac{P(x_1<X_1\leq x_1+h_1,\ldots,x_n<X_n\leq x_n+h_n)}{h_1\cdots h_n} \] 或写作: \[ P(x_1<X_1\leq x_1+h_1,\ldots,x_n<X_n\leq x_n+h_n)=f(x_1,\ldots,x_n)h_1\cdots h_n+o(h_1\cdots h_n) \]

顺序统计量的分布

定义(顺序统计量):设 \(X_1,\ldots,X_n\) 为独立同分布的随机变量,将它们按从小到大的顺序重新排列,得到 \[ X_{(1)}\leq\ldots\leq X_{(n)} \]\((X_{(1)},\ldots,X_{(n)})\)\((X_1,\ldots,X_n)\) 的顺序统计量。

定理(顺序统计量的边缘分布):设 \(X_1,\ldots,X_n\) 为独立同分布的随机变量,它们的 PDF 为 \(f(x)\)\(f\)\(x\) 处连续,则第 \(k\) 个顺序统计量 \(X_{(k)}\) 的 PDF 为: \[ f_{X_{(k)}}(x)=k\binom{n}{k}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}f(x) \]

证明:考虑微元法, \[f_{X_{(k)}}(x)=\lim_{h\to0}\frac{P(x<X_{(k)}\leq x+h)}{h}\] 取充分小的 \(h\) 使得 \(X_{(k-1)}\leq x<X_{(k)}\leq x+h<X_{(k+1)}\),则有 \(k-1\) 个随机变量取值小于等于 \(x\),有 \(1\) 个随机变量取值在 \(x\)\(x+h\) 之间,剩下 \(n-k\) 个随机变量取值大于 \(x+h\),因此: \[\begin{align}P(x<X_{(k)}\leq x+h)&=\binom{n}{k-1}(n-k+1)[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}[F(x+h)-F(x))]\\&=k\binom{n}{k}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}[F(x+h)-F(x))]\end{align}\] 代入得: \[\begin{align}f_{X_{(k)}}(x)&=k\binom{n}{k}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}\lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\&=k\binom{n}{k}[F(x)]^{k-1}[1-F(x)]^{n-k}f(x)\end{align}\] 证毕。

定理(顺序统计量的联合分布):设 \(X_1,\ldots,X_n\) 为独立同分布的随机变量,它们的 PDF 为 \(f(x)\)\(f\)\((x_1,\ldots,x_n)\) 处连续,则 \((X_{(1)},\ldots,X_{(n)})\) 的联合 PDF 为: \[ f(x_1,\ldots,x_n)=\begin{cases} \displaystyle n!\prod_{i=1}^nf(x_i),&x_1<\cdots<x_n\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} \]

证明:考虑微元法, \[\begin{align}f(x_1,\ldots,x_n)&=\lim_{h_1,\ldots,h_n\to0}\frac{P(x_1<X_{(1)}\leq x_1+h_1,\ldots,x_n<X_{(n)}<x_n+h_n)}{h_1\cdots h_n}\end{align}\] 取充分小的 \(h_1,\ldots,h_n\) 使得 \(x_1<X_{(1)}\leq x_1+h_1<x_2<\cdots\leq x_{n-1}+h_{n-1}<x_n<X_{(n)}\leq x_n+h_n\),则: \[P(x_1<X_{(1)}\leq x_1+h_1,\ldots,x_n<X_{(n)}\leq x_n+h_n)=n!\prod_{i=1}^n[F(x_i+h_i)-F(x_i)]\] 代入得: \[f(x_1,\ldots,x_n)=n!\prod_{i=1}^n\lim_{h_i\to0}\frac{F(x_i+h_i)-F(x_i)}{h_i}=n!\prod_{i=1}^nf(x_i)\] 证毕。

参考资料

  1. 孙应飞. 中国科学院大学《随机过程》讲稿 ↩︎
  2. 关于次序统计量的概率密度函数以及联合概率密度函数 - KujoStar-hmc的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/595063134 ↩︎

顺序统计量
https://xyfjason.github.io/blog-main/2024/10/13/顺序统计量/
作者
xyfJASON
发布于
2024年10月13日
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