[Evans Intro SDE]3·Brownian Motion

参考书籍:An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link

动机与定义

墨水粒子的扩散

考虑一条装满水的细长试管,在 t=0 时刻向 x=0 处滴入一滴墨水。设 f(x,t) 表示 t 时刻 x 位置处墨水粒子的密度,则 0 时刻有: f(x,0)=δ0, the unit mass at 0. 又设在一段小时间 τ 内,墨水粒子从 xy 位置移动到 x 位置的概率为 ρ(τ,y),那么: f(x,t+τ)=f(xy,t)ρ(τ,y)dy=(ffxy+12fxxy2+)ρ(τ,y)dy 由于 ρ 是概率分布,故 ρdy=1;又由于 ρ(τ,y)=ρ(τ,y),所以 yρdy=0. 进一步地,假设 y2ρdy,即 y 的方差,与 τ 成线性关系,即: y2ρdy=Dτ,D>0 其中 D 为常数,那么有: f(x,t+τ)=f(x,t)+12fxx(x,t)Dτ+f(x,t+τ)f(x,t)τ=12fxx(x,t)Dτ0,得: ft=D2fxxorft=D22fx2 这个偏微分方程就是扩散方程 (diffusion equation)热方程 (heat equation)。给定初值条件 f(x,0)=δ0,该 PDE 的解为: f(x,t)=1(2πDt)1/2ex22Dt 也就是说时刻 t 各位置墨水粒子密度的分布服从 N(0,Dt).

随机游走

设有一粒子在直线上随机游走。t=0 时粒子位于 x=0 处,每隔 Δt 时间以 1/2 的概率向左移动 Δx 距离,以 1/2 的概率向右移动 Δx 距离。设 p(m,n) 表示粒子在 nΔt 时刻位于 mΔx 处的概率,m=0,±1,±2,n=0,1,2,,那么: p(m,0)={0m01m=0 并且: p(m,n+1)=12p(m1,n)+12p(m+1,n) 于是: p(m,n+1)p(m,n)=12(p(m1,n)2p(m,n)+p(m+1,n)) 假设 (Δx)2Δt 之间有线性关系: (Δx)2Δt=D 其中 D 为常数。那么有: p(m,n+1)p(m,n)Δt=D2p(m1,n)2p(m,n)+p(m+1,n)(Δx)2Δt0,Δx0,mΔxx,nΔtt,这意味着 p(m,n)f(x,t),表示粒子在 t 时刻位于 x 处的概率密度。那么上述方程变成: ft=D2fxxorft=D22fx2 我们再次得到了扩散方程。

布朗运动(维纳过程)

基于上述两例的启发,取 D=1,我们定义布朗运动(维纳过程)如下。

定义:若一个实值随机过程 W() 满足:

  1. W(0)=0, a.s.
  2. 增量高斯:随机变量 W(t)W(s) 服从 N(0,ts) ts0.
  3. 增量独立:对任意 ,随机变量 独立。

则称该随机过程为布朗运动或维纳过程。

容易知道,布朗运动的均值函数方差函数分别为: ,则布朗运动的自相关函数为:

即对于任意 ,有:

构造布朗运动

有限维分布

一个随机过程的统计特性由其有限维分布决定,因此我们希望计算维纳过程的有限维分布。

根据定义,如果 是一个维纳过程,那么对于任意 ,有: 其中为书写方便起见,记: 进一步地,对于 ,有: 其中第二个等号运用了增量独立性。以此类推,任取整数 和时间步 以及 ,有: 下述定理推广了这一结论。

定理:设 是一个一维维纳过程,任取整数 和时间步 ,设函数 ,则有:

白噪声

在第一章中我们称维纳过程的导数过程为“白噪声”: 我们随后会看到, 的均方导数其实是不存在的,但是在形式上,我们仍然可以计算 均值函数自相关函数 可以看见, 的均值函数是常数,并且自相关函数只与时间差有关,即: 因此 是一个宽平稳过程。进一步地,根据维纳-辛钦定理,对自相关函数做傅立叶变换可以计算 功率谱密度函数 也就是说,任意频率对自相关函数都有相同的贡献,因此我们称 为白噪声。

正交基

表示所有定义在 上的实值平方可积函数构成的函数空间。设 上的一组正交基,那么根据正交性有: 将白噪声 分解为该基的线性组合: 其中系数 都是随机变量。上式两边同乘 并积分,容易知道: 由于高斯分布比较简单,我们希望「 是独立的零均值高斯随机变量」。如果该假设成立,那么应有 ,而事实也确实如此: 因此我们确实可以期待「 是独立的零均值高斯随机变量」,下面我们需要找一个特殊的基 ​ 使之成立。

Lévy–Ciesielski 构造

定义Haar 小波函数 上的一族函数 ,其定义如下: 看着有点唬人,但画出来还是挺直观的(注释:子图标题是 ):

引理:Haar 小波函数族 构成了 空间上的一组完备的正交基。

定义:对 ,称下式为第 Schauder 函数 Schauder 函数 的图像是区间 上的一个三角形,最大值为 ,其可视化如下:

引理:对任意 ,有: 证明:定义阶跃函数 如下: 之间取 之间取 的函数。根据上一条引理,Haar 小波函数族是完备正交基,所以 可以表示为 的线性组合,且组合系数为: 故: 同理,有 . 不妨设 ,那么: 证毕。

现在,基于 Schauder 函数,我们就可以将维纳过程 分解为 ​ 的线性组合,并且系数就是想要的「独立的零均值高斯随机变量」。

定理:设 是一列独立服从 的随机变量,则级数: 在各个 处一致收敛,并且 是一个维纳过程,且采样路径 是连续的。

这里我们跳过收敛性的证明,只说明 是一个维纳过程。首先, 是显然的;其次,我们需要说明 服从 ,考虑特征函数: 这就证明了 . 最后,还需要说明 是独立的。以 为例,考虑特征函数: 可拆解为两个正态分布特征函数之积,因此 独立,其余同理。

至此,​ 满足初值为零、增量高斯、增量独立,从而是一个维纳过程。

维布朗运动

可以将一维的布朗运动扩展到 维:

定义:若 中的实值随机过程 满足:

  1. 对每个 是一个一维的维纳过程;
  2. -代数 是独立的,.

则称 维布朗运动或维纳过程。

对于任意两个维度 ,容易计算互相关函数为: 给定时刻 ,则 服从 . 更一般地,对任意 和任意函数 ,有:

样本路径的性质

本节中我们将展示,对几乎所有 ,样本路径 对于指数 都是一致 Hölder 连续的,但对于指数 是无处 Hölder 连续的。特别地, 几乎一定不可导,并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。

定义:设 ,如果函数 满足存在常数 使得: 则称函数 次一致 Hölder 连续的。如果对于点 ,函数 满足存在常数 使得: 则称函数 在点 处是 次 Hölder 连续的。

样本路径的连续性

定理:设 是样本路径几乎一定连续的随机过程,满足: 其中常数 . 则对 ,存在常数 使得: 从而样本路径 上是 次一致 Hölder 连续的。

无处可微

定理:对所有 和几乎所有 是无处 Hölder 连续的;特别地, 几乎一定不可导,并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。

马尔可夫性质


[Evans Intro SDE]3·Brownian Motion
https://xyfjason.github.io/blog-main/2024/03/25/Evans-Intro-SDE-3·Brownian-Motion/
作者
xyfJASON
发布于
2024年3月25日
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