参考书籍:An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link
动机与定义
墨水粒子的扩散
考虑一条装满水的细长试管,在 时刻向 处滴入一滴墨水。设 表示 时刻 位置处墨水粒子的密度,则 0 时刻有: 又设在一段小时间 内,墨水粒子从 位置移动到 位置的概率为 ,那么: 由于 是概率分布,故 ;又由于 ,所以 . 进一步地,假设 ,即 的方差,与 成线性关系,即: 其中 为常数,那么有: 令 ,得: 这个偏微分方程就是扩散方程 (diffusion equation) 或热方程 (heat equation)。给定初值条件 ,该 PDE 的解为: 也就是说时刻 各位置墨水粒子密度的分布服从 .
随机游走
设有一粒子在直线上随机游走。 时粒子位于 处,每隔 时间以 的概率向左移动 距离,以 的概率向右移动 距离。设 表示粒子在 时刻位于 处的概率,,,那么: 并且: 于是: 假设 与 之间有线性关系: 其中 为常数。那么有: 令 ,这意味着 ,表示粒子在 时刻位于 处的概率密度。那么上述方程变成: 我们再次得到了扩散方程。
布朗运动(维纳过程)
基于上述两例的启发,取 ,我们定义布朗运动(维纳过程)如下。
定义:若一个实值随机过程 满足:
- , a.s.
- 增量高斯:随机变量 服从 ,.
- 增量独立:对任意 ,随机变量 独立。
则称该随机过程为布朗运动或维纳过程。
容易知道,布朗运动的均值函数和方差函数分别为: 设 ,则布朗运动的自相关函数为:
即对于任意 ,有:
构造布朗运动
有限维分布
一个随机过程的统计特性由其有限维分布决定,因此我们希望计算维纳过程的有限维分布。
根据定义,如果 是一个维纳过程,那么对于任意 和 ,有: 其中为书写方便起见,记: 进一步地,对于 和 ,有: 其中第二个等号运用了增量独立性。以此类推,任取整数 和时间步 以及 ,有: 下述定理推广了这一结论。
定理:设 是一个一维维纳过程,任取整数 和时间步 ,设函数 ,则有:
白噪声
在第一章中我们称维纳过程的导数过程为“白噪声”: 我们随后会看到, 的均方导数其实是不存在的,但是在形式上,我们仍然可以计算 的均值函数和自相关函数: 可以看见, 的均值函数是常数,并且自相关函数只与时间差有关,即: 因此 是一个宽平稳过程。进一步地,根据维纳-辛钦定理,对自相关函数做傅立叶变换可以计算 的功率谱密度函数: 也就是说,任意频率对自相关函数都有相同的贡献,因此我们称 为白噪声。
正交基
设 表示所有定义在 上的实值平方可积函数构成的函数空间。设 是 上的一组正交基,那么根据正交性有: 将白噪声 分解为该基的线性组合: 其中系数 都是随机变量。上式两边同乘 并积分,容易知道: 由于高斯分布比较简单,我们希望「 是独立的零均值高斯随机变量」。如果该假设成立,那么应有 ,而事实也确实如此: 因此我们确实可以期待「 是独立的零均值高斯随机变量」,下面我们需要找一个特殊的基 使之成立。
Lévy–Ciesielski 构造
定义:Haar 小波函数是 上的一族函数 ,其定义如下: 看着有点唬人,但画出来还是挺直观的(注释:子图标题是 ):

引理:Haar 小波函数族 构成了 空间上的一组完备的正交基。
定义:对 ,称下式为第 个 Schauder 函数: Schauder 函数 的图像是区间 上的一个三角形,最大值为 ,其可视化如下:

引理:对任意 ,有: 证明:定义阶跃函数 如下: 即 之间取 , 之间取 的函数。根据上一条引理,Haar 小波函数族是完备正交基,所以 可以表示为 的线性组合,且组合系数为: 故: 同理,有 . 不妨设 ,那么: 证毕。
现在,基于 Schauder 函数,我们就可以将维纳过程 分解为 的线性组合,并且系数就是想要的「独立的零均值高斯随机变量」。
定理:设 是一列独立服从 的随机变量,则级数: 在各个 处一致收敛,并且 是一个维纳过程,且采样路径 是连续的。
这里我们跳过收敛性的证明,只说明 是一个维纳过程。首先, 是显然的;其次,我们需要说明 服从 ,考虑特征函数: 这就证明了 . 最后,还需要说明 是独立的。以 为例,考虑特征函数: 可拆解为两个正态分布特征函数之积,因此 与 独立,其余同理。
至此, 满足初值为零、增量高斯、增量独立,从而是一个维纳过程。
维布朗运动
可以将一维的布朗运动扩展到 维:
定义:若 中的实值随机过程 满足:
- 对每个 , 是一个一维的维纳过程;
- -代数 是独立的,.
则称 是 维布朗运动或维纳过程。
对于任意两个维度 ,容易计算互相关函数为: 给定时刻 ,则 服从 . 更一般地,对任意 和任意函数 ,有:
样本路径的性质
本节中我们将展示,对几乎所有 ,样本路径 对于指数 都是一致 Hölder 连续的,但对于指数 是无处 Hölder 连续的。特别地, 几乎一定不可导,并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。
定义:设 ,如果函数 满足存在常数 使得: 则称函数 是 次一致 Hölder 连续的。如果对于点 ,函数 满足存在常数 使得: 则称函数 在点 处是 次 Hölder 连续的。
样本路径的连续性
定理:设 是样本路径几乎一定连续的随机过程,满足: 其中常数 . 则对 ,存在常数 使得: 从而样本路径 在 上是 次一致 Hölder 连续的。
无处可微
定理:对所有 和几乎所有 , 是无处 Hölder 连续的;特别地, 几乎一定不可导,并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。
马尔可夫性质