[Evans Intro SDE]3·Brownian Motion

参考书籍：An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link

动机与定义

墨水粒子的扩散

考虑一条装满水的细长试管，在 $t=0$ 时刻向 $x=0$ 处滴入一滴墨水。设 $f(x,t)$ 表示 $t$ 时刻 $x$ 位置处墨水粒子的密度，则 0 时刻有： $$f(x,0)={\delta }_0,\text{ the unit mass at 0.}$$ 又设在一段小时间 $\tau$ 内，墨水粒子从 $x-y$ 位置移动到 $x$ 位置的概率为 $\rho (\tau ,y)$，那么： $$f(x,t+\tau )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x-y,t)\rho (\tau ,y)\mathrm{d}y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(f-f_{x}y+\frac{1}{2}{f}_{xx}{y}^2+\cdots )\rho (\tau ,y)\mathrm{d}y$$ 由于 $\rho$ 是概率分布，故 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\rho \mathrm{d}y=1$；又由于 $\rho (\tau ,y)=\rho (\tau ,-y)$，所以 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\rho \mathrm{d}y=0$. 进一步地，假设 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2\rho \mathrm{d}y$，即 $y$ 的方差，与 $\tau$ 成线性关系，即： $${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2\rho \mathrm{d}y=D\tau ,D>0$$ 其中 $D$ 为常数，那么有： $$f(x,t+\tau )=f(x,t)+\frac{1}{2}{f}_{xx}(x,t)D\tau +\cdots ⟹\frac{f(x,t+\tau )-f(x,t)}{\tau }=\frac{1}{2}{f}_{xx}(x,t)D$$ 令 $\tau \to 0$，得： $$f_t=\frac{D}{2}{f}_{xx}\text{or}\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{D}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$ 这个偏微分方程就是扩散方程 (diffusion equation) 或热方程 (heat equation)。给定初值条件 $f(x,0)={\delta }_0$，该 PDE 的解为： $$f(x,t)=\frac{1}{(2\pi Dt{)}^{1/2}}{e}^{-\frac{x^2}{2Dt}}$$ 也就是说时刻 $t$ 各位置墨水粒子密度的分布服从 $\mathcal{N}(0,Dt)$.

随机游走

设有一粒子在直线上随机游走。$t=0$ 时粒子位于 $x=0$ 处，每隔 $\mathrm{\Delta }t$ 时间以 $1/2$ 的概率向左移动 $\mathrm{\Delta }x$ 距离，以 $1/2$ 的概率向右移动 $\mathrm{\Delta }x$ 距离。设 $p(m,n)$ 表示粒子在 $n\mathrm{\Delta }t$ 时刻位于 $m\mathrm{\Delta }x$ 处的概率，$m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$，$n=0,1,2,\dots$，那么： $$p(m,0)=\{\begin{array}{ll}0& m\ne 0\\ 1& m=0\end{array}$$ 并且： $$p(m,n+1)=\frac{1}{2}p(m-1,n)+\frac{1}{2}p(m+1,n)$$ 于是： $$p(m,n+1)-p(m,n)=\frac{1}{2}(p(m-1,n)-2p(m,n)+p(m+1,n))$$ 假设 $(\mathrm{\Delta }x{)}^2$ 与 $\mathrm{\Delta }t$ 之间有线性关系： $$\frac{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}{\mathrm{\Delta }t}=D$$ 其中 $D$ 为常数。那么有： $$\frac{p(m,n+1)-p(m,n)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{D}{2}\cdot \frac{p(m-1,n)-2p(m,n)+p(m+1,n)}{(\mathrm{\Delta }x{)}^2}$$ 令 $\mathrm{\Delta }t\to 0,\mathrm{\Delta }x\to 0,m\mathrm{\Delta }x\to x,n\mathrm{\Delta }t\to t$，这意味着 $p(m,n)\to f(x,t)$，表示粒子在 $t$ 时刻位于 $x$ 处的概率密度。那么上述方程变成： $$f_t=\frac{D}{2}{f}_{xx}\text{or}\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{D}{2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$ 我们再次得到了扩散方程。

布朗运动（维纳过程）

基于上述两例的启发，取 $D=1$，我们定义布朗运动（维纳过程）如下。

定义：若一个实值随机过程 $W(\cdot )$ 满足：

1. $W(0)=0$, a.s.
2. 增量高斯：随机变量 $W(t)-W(s)$ 服从 $\mathcal{N}(0,t-s)$，$\mathrm{\forall }t\ge s\ge 0$.
3. 增量独立：对任意 $$，随机变量 $$ 独立。

则称该随机过程为布朗运动或维纳过程。

容易知道，布朗运动的均值函数和方差函数分别为： $$ 设 $$，则布朗运动的自相关函数为：

$$ 即对于任意 $$，有： $$

构造布朗运动

有限维分布

一个随机过程的统计特性由其有限维分布决定，因此我们希望计算维纳过程的有限维分布。

根据定义，如果 $$ 是一个维纳过程，那么对于任意 $$ 和 $$，有： $$ 其中为书写方便起见，记： $$ 进一步地，对于 $$ 和 $$，有： $$ 其中第二个等号运用了增量独立性。以此类推，任取整数 $$ 和时间步 $$ 以及 $$，有： $$ 下述定理推广了这一结论。

定理：设 $$ 是一个一维维纳过程，任取整数 $$ 和时间步 $$，设函数 $$，则有： $$

白噪声

在第一章中我们称维纳过程的导数过程为“白噪声”： $$ 我们随后会看到，$$ 的均方导数其实是不存在的，但是在形式上，我们仍然可以计算 $$ 的均值函数和自相关函数： $$ 可以看见，$$ 的均值函数是常数，并且自相关函数只与时间差有关，即： $$ 因此 $$ 是一个宽平稳过程。进一步地，根据维纳-辛钦定理，对自相关函数做傅立叶变换可以计算 $$ 的功率谱密度函数： $$ 也就是说，任意频率对自相关函数都有相同的贡献，因此我们称 $$ 为白噪声。

正交基

设 $$ 表示所有定义在 $$ 上的实值平方可积函数构成的函数空间。设 $$ 是 $$ 上的一组正交基，那么根据正交性有： $$ 将白噪声 $$ 分解为该基的线性组合： $$ 其中系数 $$ 都是随机变量。上式两边同乘 $$ 并积分，容易知道： $$ 由于高斯分布比较简单，我们希望「$$ 是独立的零均值高斯随机变量」。如果该假设成立，那么应有 $$，而事实也确实如此： $$ 因此我们确实可以期待「$$ 是独立的零均值高斯随机变量」，下面我们需要找一个特殊的基 $$​ 使之成立。

Lévy–Ciesielski 构造

定义：Haar 小波函数是 $$ 上的一族函数 $$，其定义如下： $$ 看着有点唬人，但画出来还是挺直观的（注释：子图标题是 $$）：

引理：Haar 小波函数族 $$ 构成了 $$ 空间上的一组完备的正交基。

定义：对 $$，称下式为第 $$ 个 Schauder 函数： $$ Schauder 函数 $$ 的图像是区间 $$ 上的一个三角形，最大值为 $$，其可视化如下：

引理：对任意 $$，有： $$ 证明：定义阶跃函数 $$ 如下： $$ 即 $$ 之间取 $$，$$ 之间取 $$ 的函数。根据上一条引理，Haar 小波函数族是完备正交基，所以 $$ 可以表示为 $$ 的线性组合，且组合系数为： $$ 故： $$ 同理，有 $$. 不妨设 $$，那么： $$ 证毕。

现在，基于 Schauder 函数，我们就可以将维纳过程 $$ 分解为 $$​ 的线性组合，并且系数就是想要的「独立的零均值高斯随机变量」。

定理：设 $$ 是一列独立服从 $$ 的随机变量，则级数： $$ 在各个 $$ 处一致收敛，并且 $$ 是一个维纳过程，且采样路径 $$ 是连续的。

这里我们跳过收敛性的证明，只说明 $$ 是一个维纳过程。首先，$$ 是显然的；其次，我们需要说明 $$ 服从 $$，考虑特征函数： $$ 这就证明了 $$. 最后，还需要说明 $$ 是独立的。以 $$ 为例，考虑特征函数： $$ 可拆解为两个正态分布特征函数之积，因此 $$ 与 $$ 独立，其余同理。

至此，$$​ 满足初值为零、增量高斯、增量独立，从而是一个维纳过程。

$$ 维布朗运动

可以将一维的布朗运动扩展到 $$ 维：

定义：若 $$ 中的实值随机过程 $$ 满足：

1. 对每个 $$，$$ 是一个一维的维纳过程；
2. $$-代数 $$ 是独立的，$$.

则称 $$ 是 $$ 维布朗运动或维纳过程。

对于任意两个维度 $$，容易计算互相关函数为： $$ 给定时刻 $$，则 $$ 服从 $$. 更一般地，对任意 $$ 和任意函数 $$，有： $$

样本路径的性质

本节中我们将展示，对几乎所有 $$，样本路径 $$ 对于指数 $$ 都是一致 Hölder 连续的，但对于指数 $$ 是无处 Hölder 连续的。特别地，$$ 几乎一定不可导，并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。

定义：设 $$，如果函数 $$ 满足存在常数 $$ 使得： $$ 则称函数 $$ 是 $$ 次一致 Hölder 连续的。如果对于点 $$，函数 $$ 满足存在常数 $$ 使得： $$ 则称函数 $$ 在点 $$ 处是 $$ 次 Hölder 连续的。

样本路径的连续性

定理：设 $$ 是样本路径几乎一定连续的随机过程，满足： $$ 其中常数 $$. 则对 $$，存在常数 $$ 使得： $$ 从而样本路径 $$ 在 $$ 上是 $$ 次一致 Hölder 连续的。

无处可微

定理：对所有 $$ 和几乎所有 $$，$$ 是无处 Hölder 连续的；特别地，$$ 几乎一定不可导，并且在每个时间间隔内都具有无穷变差 (infinite variation)。

马尔可夫性质