[Evans Intro SDE]2·Probability Theory

参考书籍：An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link

本章快速回顾概率测度的理论基础。

基本定义

定义（$\sigma$-代数）：设 $\mathrm{\Omega }$ 为一个集合，$\mathcal{U}$ 为 $\mathrm{\Omega }$ 的一些子集的集合，满足：

1. $\mathrm{\varnothing },\mathrm{\Omega }\in \mathcal{U}$
2. 若 $A\in \mathcal{U}$，则 $A^c\in \mathcal{U}$
3. 若 $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{U}$，则 $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k,\bigcap _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k\in \mathcal{U}$

称 $\mathcal{U}$ 为 $\mathrm{\Omega }$ 上的一个 $\sigma$-代数。

由定义可知，$\mathcal{U}$​ 对取余、可数并和可数交封闭。

定义（概率测度）：设 $\mathcal{U}$ 是集合 $\mathrm{\Omega }$ 上的 $\sigma$-代数，若映射 $P:\mathcal{U}\to [0,1]$ 满足：

1. $P(\mathrm{\varnothing })=0,P(\mathrm{\Omega })=1$
2. 若 $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{U}$，则 $P(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)$
3. 若 $A_1,A_2,\dots \in \mathcal{U}$ 且互不相交，则 $P(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_k)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}P(A_k)$

则称 $P$​ 为 $\mathcal{U}$ 上的一个概率测度。

容易验证，设 $$，若 $$，则 $$.

定义（概率空间）：上述定义的三元组 $$ 称作概率空间。

术语：称 $$ 为一个事件，$$ 为一个样本点，$$ 为事件 $$ 的概率。

定义（几乎一定）：若某命题在除了测度为零的事件以外都成立，则称其几乎一定成立，记作 “$$”.

定义（Borel $$-代数）：包含 $$ 中所有开子集的最小的 $$-代数称作 Borel $$-代数，记作 $$.

我们可以直观上认为 $$ 的元素都是 $$ 中“好”的子集。

定义（随机变量）：设 $$ 为一个概率空间，设有映射 $$，若对任意 $$，都有： $$ 则称 $$ 为 $$ 维随机变量，且是 $$-可测的。

记号：依惯例一般直接写 $$ 而非 $$；另外，将 $$ 记作 $$. 通常用大写字母表示随机变量，粗体表示映射是向量值映射。

引理：设 $$ 是随机变量，那么： $$ 是一个 $$-代数，称作 $$ 生成的 $$​-代数。

可以认为 $$ 包含了“有关 $$ 的全部信息”。

定义（随机过程）：随机变量集合 $$ 称作一个随机过程。

定义（样本路径）：对任一 $$，映射 $$ 称作对应的样本路径。

直观上，如果我们进行一次实验，观察 $$ 的取值，我们就得到了对应某一固定样本 $$ 的一条样本路径。如果进行多次实验，就能观察到多条样本路径。反过来，固定时间步 $$，那么多次实验在 $$ 时刻的取值就是随机变量 $$ 的若干取值。

期望与方差

基于测度的积分：设 $$ 是一个测度空间，$$ 是一个实值随机变量，定义 $$ 的积分为：

• 若 $$ 是形如 $$ 的简单随机变量： $$

• 若 $$ 是一个非负随机变量： $$

• 若 $$ 是一个随机变量，设 $$，则 $$，因此定义： $$

进一步地，设 $$ 是一个向量值随机变量，$$，则： $$ 定义（期望）：随机变量 $$ 的期望定义为： $$ 定义（方差）：随机变量 $$ 的方差定义为： $$ 其中 $$ 表示欧式范数。

定理（Chebyshev 不等式）：设 $$ 是一随机变量，$$，则： $$ 证： $$ 证毕。

分布函数

设 $$ 为一个概率空间，$$ 为一个随机变量。

记号：设 $$，$$，则记 $$ 表示 $$.

定义（分布函数）：随机变量 $$ 的分布函数 $$ 定义为： $$ 定义（联合分布）：设 $$ 是随机变量，它们的联合分布函数 $$ 定义为： $$ 定义（密度函数）：设 $$ 是一个随机变量，$$ 是其分布函数。若存在非负可积函数 $$ 使得： $$ 则称 $$ 为 $$ 的密度函数。可以证明： $$ 引理：设 $$ 是一个随机变量，密度函数为 $$. 设 $$，$$ 可积，则： $$