[Evans Intro SDE]1·Introduction

参考书籍：An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link

动机

给定 $$，考虑这样一个 ODE： $$ 其中 $$ 是一个给定的光滑向量场。该 ODE 的解是一条轨迹 $$，如下图所示：

然而在许多应用中，实验测试得到的轨迹往往受到很多随机因素的影响，如下图所示：

因此我们需要在上述 ODE 的基础上添加一个噪声项： $$ 其中 $$ 且 $$ 表示某种 $$ 维“白噪声”。基于此动机，我们现在需要解决以下问题：

• 在数学上严格地定义“白噪声” $$；
• 定义什么是 $$ 式的解 $$；
• 讨论 $$ 式是否有解，解是否唯一，其渐进行为，与 $$​ 的关系……

启发

首先从简单的情形入手。设 $$，此时 $$ 式的解称作维纳过程 (Wiener process) 或布朗运动 (Brownian motion)，记作 $$： $$ 即我们定义“白噪声”是维纳过程的导数过程。基于维纳过程，$$ 式可改写作：

$$ 称如此形式的方程为随机微分方程 (SDE). 进一步地，如果 $$ 满足： $$ 则称 $$ 是该 SDE 的解。当然，以上都是启发式的定义，并不严谨；在本书随后的内容中，我们将构造 $$、定义随机积分 $$、讨论 $$ 式的解……

伊藤公式

假设 $$ 并且 $$ 是如下 SDE 的解： $$ 设 $$ 是一给定光滑函数，问： $$ 是哪个 SDE 的解？如果凭微积分中链式法则的知识，我们可能会猜想： $$ 但是这是错误的！在 SDE 中，从某种程度上说，可以认为 $$，因此计算 $$ 时要将 $$ 和 $$ 都保留下来： $$ 丢弃高阶项，有： $$ 可以看见相比一般微积分，结果多了一项 $$.