[Evans Intro SDE]1·Introduction
参考书籍:An Introduction to Stochastic Differential Equations Version 1.2 by Lawrence C. Evans. link
动机
给定 ,考虑这样一个 ODE: 其中 是一个给定的光滑向量场。该 ODE 的解是一条轨迹 ,如下图所示:
然而在许多应用中,实验测试得到的轨迹往往受到很多随机因素的影响,如下图所示:
因此我们需要在上述 ODE 的基础上添加一个噪声项: 其中 且 表示某种 维“白噪声”。基于此动机,我们现在需要解决以下问题:
- 在数学上严格地定义“白噪声” ;
- 定义什么是 式的解 ;
- 讨论 式是否有解,解是否唯一,其渐进行为,与 的关系……
启发
首先从简单的情形入手。设 ,此时 式的解称作维纳过程 (Wiener process) 或布朗运动 (Brownian motion),记作 : 即我们定义“白噪声”是维纳过程的导数过程。基于维纳过程, 式可改写作:
伊藤公式
假设
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