[UCAS随机过程]6·高斯过程

多元正态分布

$$ 元正态分布：设 $$ 是 $$ 元随机向量，均值为 $$，协方差矩阵为 $$. 注意 $$ 为半正定对称矩阵，因此有如下两种情形：

1. 若 $$ 是正定矩阵，则定义 $$ 服从概率分布密度为： $$ 特征函数为： $$

2. 若 $$ 不是正定矩阵，则将上述特征函数对应的分布函数定义为 $$ 元正态分布。

定理：设 $$，则其任一子向量 $$ 仍然服从正态分布。

定理：$$ 元正态分布的随机变量 $$ 相互独立的充要条件是它们两两不相关。

前提条件是 $$ 联合正态！分别正态不成立。

正态随机变量的线性变换：

1. 设 $$，设 $$，其中 $$，则 $$，$$.
2. 设 $$，令 $$，则 $$.
3. 设 $$，则存在正交矩阵 $$，使得 $$ 是一独立正态分布随机向量，均值为 $$，方差为矩阵 $$ 的特征值。

正态分布的四阶矩：设 $$，则： $$

高斯过程（正态过程）

定义：若随机过程 $$ 的有限维分布均为正态分布，则称此随机过程为高斯过程或正态过程。正态过程是二阶矩过程。

设 $$，则由正态过程的定义，有： $$ 其中： $$ 定理：设 $$ 是 $$ 维实正态随机向量序列，其中 $$，且 $$ 均方收敛于 $$，则 $$ 也是正态分布的随机向量。

定理：若正态过程 $$ 在 $$ 上是均方可导的，则 $$ 也是正态过程。

定理：若正态过程 $$ 在 $$ 上是均方可积的，则 $$ 以及 $$ 也是正态过程。

正态 Markov 过程