[UCAS随机过程]4·二阶矩过程、平稳过程和随机分析

本章讨论的随机过程都是复随机过程

二阶矩过程

定义:设有随机过程 ,若对 的均值和方差存在,则称随机过程 为二阶矩过程。

预处理:令 ,则 ,并且 二阶矩也存在,因此之后讨论的二阶矩过程一般都假定均值函数为零。

二阶矩过程相关函数的性质

  1. 共轭对称性:

  2. 非负定性(半正定性):

根据上述两条性质可知,二阶矩过程的相关矩阵是一个半正定的 Hermite 矩阵。

平稳过程

严平稳过程

定义:若随机过程 满足:对于 ,任选 ,其中 ,以及任意的 ,都有: 其中 维分布函数,则称此随机过程为严平稳随机过程。

即严平稳过程的任意有限维分布都不随时间推移变化。但注意其数字特征(均值、方差等)并不一定存在。

注 1:严平稳随机过程的一维分布函数与时间 无关。因此,如果严平稳随机过程的均值函数存在的话,则是一常数。

注 2:严平稳随机过程的任意二维分布函数只与时间差有关。因此,如果严平稳随机过程的二阶矩存在的话,则自相关函数只与时间差有关。

注 3:若上述的定义中的条件不是对于任意的 满足,而只是对于某个 满足时,即对于任意的 ,任意的 ,有: 而当 时上式不成立,则称它为 级平稳的随机过程。如果过程为 级平稳的,那么当 时,上面的等式成立。

宽平稳过程

定义:设随机过程 是二阶矩过程,若其均值函数为常数,自相关函数只是时间差 的函数,则称此随机过程为宽平稳随机过程。

注 1:宽平稳随机过程是二阶矩过程,但不一定是严平稳随机过程。

注 2:对于严平稳随机过程,只有它二阶矩存在时,它才是宽平稳过程。

注 3:对于正态随机过程来说,严平稳就是宽平稳。

注 4:以下讨论平稳过程指的是宽平稳随机过程。

宽平稳随机过程的性质

  1. .
  2. .
  3. .
  4. 非负定性:.

正交增量过程

定义:设随机过程 是二阶矩过程,若 ,有: 则称该过程为正交增量过程。

独立增量过程与正交增量过程的关系:均值为常数、二阶矩存在的独立增量过程一定是正交增量过程。

补充(独立增量过程的协方差函数与方差函数的关系):设 是一独立增量过程,且 ,二阶矩存在,则可以证明:

从线性空间的角度看待二阶矩存在的随机变量

可以验证,所有二阶矩存在的随机变量构成了一个线性空间; 定义随机变量之间的内积为: 可以验证这种定义方式符合内积的要求,因此构成了一个内积空间。在内积空间中,有定义:

  • 范数:
  • 距离:
  • 正交:

从这个角度就能理解正交增量过程中“正交”的含义了。

随机分析

我们在数学分析中研究过数列的极限、函数的连续性、导数和积分,那么推广到随机过程,也可以研究其极限、连续性、导数和积分,是谓随机分析。

均方极限

定义:设随机序列 及随机变量 均存在二阶矩,即 ,若: 则称随机序列 均方收敛于 ,或序列 的均方极限为 ,记作: 性质:设 ,有:

  1. .
  2. .
  3. .
  4. .
  5. 均方极限唯一。
  6. 柯西准则:随机序列 均方收敛的充要条件为 .
  7. 列维准则:随机序列 均方收敛的充要条件为 ,其中 为复常数。
  8. 是一确定性函数,且满足 Lipschitz 条件,又假设 的二阶矩都存在,则 .
  9. 对任意有限 ,有 .

均方连续

定义:设二阶矩过程 ,若: ,则称 点均方连续。若对任意 都均方连续,则称过程均方连续。

判定准则:设二阶矩过程 ,自相关函数为 ,则过程在 处均方连续的充要条件 在点 处连续。另外,如果 在对角线 上连续,则在整个 上连续。

定理:若二阶矩过程 均方连续,则对于任意 ,有: 即均值函数连续(注意均值函数是一个确定性函数,“连续”就是普通的连续)。

定理:设 宽平稳过程,则以下各条件是等价的:

  1. 均方连续;
  2. 在点 处连续;
  3. 自相关函数 上连续;
  4. 自相关函数 在点 处连续。

其中第四点验证起来最方便。

均方导数

定义:设有随机过程 ,若: 其中 ,则称随机过程 处均方可导,并称 为过程在 处的均方导数,记作: 若对于任意 都均方可导,且: 则称 为随机过程 的均方导数。

不要试图“求出”均方导数,一般是无法求出的(除了高斯过程),但可以确定其均值函数和相关函数。

判定准则:设二阶矩过程 ,自相关函数为 ,则 在点 处均方可导的充要条件为: 在点 附近存在且在点 处连续。

导数过程的均值函数 导数过程的相关函数 均方导数的性质

  1. 为两个均方可导的随机过程,,则 也均方可导,且:

  2. 为均方可导的随机过程, 为一确定性函数,则 也是均方可导的随机过程,且有:

平稳过程的均方导数:若 为平稳过程,即 ,若 存在,且在 处连续,则 均方可导,且其均方导数的相关函数为: 均值函数为:

均方积分

定义:设 为二阶矩过程, 是定义在 上的以 为参数的确定性函数。对 进行任意 划分 ,记 ,作和式: 若存在随机变量 ,对任意的划分和任意的 ,都有: 则称 均方收敛于 ,并称 上可积,记 的均方极限为 ,即: 并称为 上的均方积分。

不要试图“求出”均方积分,一般是无法求出的(除了高斯过程),但可以确定其均值函数和相关函数。

判定准则 上均方可积的充要条件为: 存在。

积分过程的均值函数 积分过程的相关函数

计算时均值和积分可以交换。

均方积分的性质

  1. 上均方连续,则对于任意 ,有:

  2. 上均方连续,则有:

从上文定义的内积空间的角度,上述两条性质可以写作:

  1. 上均方可积, 为复常数,则: ,则:

  2. 上均方连续,记 上均方连续,均方可导,且 .

  3. 均方可导,且 均方连续,则有:

性质 4、5 可直接类比确定性函数的变上限积分求导和牛顿-莱布尼兹公式。

小结

随机过程 均值函数 相关函数
  • 处均方连续 处连续
  • 上均方连续 上连续
  • 处存在 处连续
  • 存在 存在

各态历经性

根据试验记录(样本函数)确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。

一般地,计算平稳过程的均值和相关函数有各种不同的方法,如取大量样本函数做平均,但这在实际当中是非常困难的,有时甚至是不可能的。但对平稳过程而言,由于其统计特性是不随时间的推移而变化,因此只要满足一些较宽的条件,那么集平均(均值函数和相关函数)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的时间平均值来代替。

定义:设 是均方连续平稳随机过程,如果它沿整个时间轴上的平均值(时间平均) 存在,即: 存在,并且 则称该随机过程的均值具有各态历经性。

注意 是一个随机变量,上式表示它与 几乎处处相等。

定义:设 是均方连续平稳随机过程,且对于固定的 也是连续平稳随机过程,称 沿整个时间轴上的时间平均,即: 的时间相关函数。若: 则称该过程的自相关函数具有各态历经性。

定义:如果 是一均方连续平稳随机过程,且其均值和相关函数均具有各态历经性,则称该随机过程具有各态历经性,或者说 是各态历经的,或是遍历的。

定理(均值各态历经定理):平稳随机过程 的均值具有各态历经性的充要条件是: 推论:若实平稳随机过程 的自协方差函数 满足: 则平稳随机过程 的均值具有各态历经性。

定理(自相关函数各态历经定理):平稳随机过程 的自相关函数具有各态历经性的充要条件是: 其中:


[UCAS随机过程]4·二阶矩过程、平稳过程和随机分析
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作者
xyfJASON
发布于
2024年1月12日
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