[UCAS随机过程]4·二阶矩过程、平稳过程和随机分析
本章讨论的随机过程都是复随机过程。
二阶矩过程
定义:设有随机过程
预处理:令
二阶矩过程相关函数的性质:
共轭对称性:
非负定性(半正定性):
根据上述两条性质可知,二阶矩过程的相关矩阵是一个半正定的 Hermite 矩阵。
平稳过程
严平稳过程
定义:若随机过程
即严平稳过程的任意有限维分布都不随时间推移变化。但注意其数字特征(均值、方差等)并不一定存在。
注 1:严平稳随机过程的一维分布函数与时间
注 2:严平稳随机过程的任意二维分布函数只与时间差有关。因此,如果严平稳随机过程的二阶矩存在的话,则自相关函数只与时间差有关。
注 3:若上述的定义中的条件不是对于任意的
宽平稳过程
定义:设随机过程
注 1:宽平稳随机过程是二阶矩过程,但不一定是严平稳随机过程。
注 2:对于严平稳随机过程,只有它二阶矩存在时,它才是宽平稳过程。
注 3:对于正态随机过程来说,严平稳就是宽平稳。
注 4:以下讨论平稳过程指的是宽平稳随机过程。
宽平稳随机过程的性质:
. . .- 非负定性:
.
正交增量过程
定义:设随机过程
独立增量过程与正交增量过程的关系:均值为常数、二阶矩存在的独立增量过程一定是正交增量过程。
补充(独立增量过程的协方差函数与方差函数的关系):设
从线性空间的角度看待二阶矩存在的随机变量
可以验证,所有二阶矩存在的随机变量构成了一个线性空间;
- 范数:
- 距离:
- 正交:
从这个角度就能理解正交增量过程中“正交”的含义了。
随机分析
我们在数学分析中研究过数列的极限、函数的连续性、导数和积分,那么推广到随机过程,也可以研究其极限、连续性、导数和积分,是谓随机分析。
均方极限
定义:设随机序列
. . . .- 均方极限唯一。
- 柯西准则:随机序列
均方收敛的充要条件为 . - 列维准则:随机序列
均方收敛的充要条件为 ,其中 为复常数。 - 设
是一确定性函数,且满足 Lipschitz 条件,又假设 的二阶矩都存在,则 . - 对任意有限
,有 .
均方连续
定义:设二阶矩过程
判定准则:设二阶矩过程
定理:若二阶矩过程
定理:设
均方连续; 在点 处连续;- 自相关函数
在 上连续; - 自相关函数
在点 处连续。
其中第四点验证起来最方便。
均方导数
定义:设有随机过程
不要试图“求出”均方导数,一般是无法求出的(除了高斯过程),但可以确定其均值函数和相关函数。
判定准则:设二阶矩过程
导数过程的均值函数:
设
为两个均方可导的随机过程, ,则 也均方可导,且:设
为均方可导的随机过程, 为一确定性函数,则 也是均方可导的随机过程,且有:
平稳过程的均方导数:若
均方积分
定义:设
不要试图“求出”均方积分,一般是无法求出的(除了高斯过程),但可以确定其均值函数和相关函数。
判定准则:
积分过程的均值函数:
计算时均值和积分可以交换。
均方积分的性质:
设
在 上均方连续,则对于任意 ,有:设
在 上均方连续,则有:
从上文定义的内积空间的角度,上述两条性质可以写作:
设
在 上均方可积, 为复常数,则: 若 ,则:设
在 上均方连续,记 则 在 上均方连续,均方可导,且 .若
均方可导,且 均方连续,则有:
性质 4、5 可直接类比确定性函数的变上限积分求导和牛顿-莱布尼兹公式。
小结
随机过程 | 均值函数 | 相关函数 |
---|---|---|
在 处均方连续 在 处连续 在 上均方连续 在 上连续 在 处存在 在 处连续 存在 存在
各态历经性
根据试验记录(样本函数)确定平稳过程的均值和相关函数的理论依据和方法。
一般地,计算平稳过程的均值和相关函数有各种不同的方法,如取大量样本函数做平均,但这在实际当中是非常困难的,有时甚至是不可能的。但对平稳过程而言,由于其统计特性是不随时间的推移而变化,因此只要满足一些较宽的条件,那么集平均(均值函数和相关函数)实际上可以用一个样本函数在整个时间轴上的时间平均值来代替。
定义:设
注意
定义:设
定义:如果
定理(均值各态历经定理):平稳随机过程
定理(自相关函数各态历经定理):平稳随机过程