[UCAS随机过程]3·Poisson过程

基本概念及 Poisson 过程的一维分布

独立增量过程：设 $\{X(t),t\in T\}$ 是一随机过程，若对于任意 $t_1<t_2<\cdots <t_n$，有随机过程 $X(t)$ 的增量： $$X(t_2)-X(t_1),\dots ,X(t_n)-X(t_{n-1})$$ 相互独立，则称随机过程 $\{X(t),t\in T\}$ 是独立增量过程。

注：设独立增量过程的参数集 $T=[a,b),a>-\mathrm{\infty }$，当初值给定时（一般假定 $X(a)=0$），独立增量过程是一个 Markov 过程。

计数过程：在 $[0,t)$ 内出现随机事件 $A$ 的总数组成的过程 $\{N(t),t\ge 0\}$ 称为计数过程。计数过程满足：

1. $N(t)\ge 0$；
2. $N(t)\in N_0=\{0,1,2,\dots \}$；
3. $\mathrm{\forall }s,t>0,s<t$，有 $N(s)\le N(t)$；
4. $\mathrm{\forall }s,t>0,s<t$，$N(t)-N(s)$ 表示在时间间隔 $[s,t)$ 内事件 $A$ 出现的次数。

独立增量计数过程：若计数过程在不相交的时间间隔内事件 $A$ 出现的次数是相互独立的，则称此计数过程为独立增量计数过程。

平稳增量计数过程：若计数过程在时间间隔 $[t,t+s)$ 内出现事件 $A$ 的次数只与时间差 $s$ 有关，而与起始时间 $t$ 无关，则称此计数过程为平稳增量计数过程。

Poisson 过程：定义计数过程 $N(t),t\le 0$ 称为时齐（齐次）Poisson 过程，若满足:

1. $N(0)=0$；

2. 是独立增量计数过程，即任取 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n,n\in \mathbb{N}$， $$N(t_1),N(t_2)-N(t_1),\dots ,N(t_n)-N(t_{n-1})$$ 相互独立；

3. 是平稳增量计数过程： $$

4. 增量是泊松的，即对任意 $$ 和充分小的 $$，有： $$ 其中 $$ 称为强度系数。

定理（Poisson 过程的一维分布）：若 $$ 是时齐 Poisson 过程，则 $$，有： $$ 即 $$ 是一个参数为 $$ 的 Poisson 分布。

Poisson 过程与指数分布的关系

$$ 与 $$

定义：设 $$ 是一计数过程，记：

• $$ 表示第 $$ 个事件发生的时间，其中 $$.
• $$ 表示第 $$ 个事件与第 $$ 个事件发生的时间间隔。

基本关系式： $$

非常重要的两个关系式！

若 $$ 是 Poisson 过程，则 $$ 的分布函数为： $$ 概率密度函数为： $$ 即 $$. 特别地，当 $$ 时，有： $$ 即 $$ 是参数为 $$ 的指数分布（负指数分布）。

自然引出一个问题：$$ 是否还是服从参数为 $$ 的指数分布？是否独立？

前置知识：求概率密度的微元法

一维情形：若随机变量 $$ 的概率密度 $$ 在 $$ 处连续，则： $$ 多维情形：若随机向量 $$ 的概率密度 $$ 在点 $$ 处连续，则： $$ 即： $$

前置知识：顺序统计量的分布

顺序统计量：给定 $$，$$ 为其上的随机向量，$$，将试验结果 $$ 按从小到大顺序重新进行排列，记为 $$，称 $$ 为 $$ 的顺序统计量。

设 $$ 是独立同分布非负随机变量，密度函数为 $$，$$ 为相应顺序统计量，则利用微元法可以计算顺序统计量的概率密度函数为： $$

Poisson 过程与指数分布

定理：计数过程 $$ 是强度为 $$ 的时齐 Poisson 过程的充要条件是 $$ 是独立且参数同为 $$ 的指数分布。

此定理的结论非常重要，它反映了 Poisson 过程的本质特性，也为 Poisson 过程的计算机模拟提供了理论基础。

剩余寿命与年龄

设 $$ 为在 $$ 内事件 A 发生的个数，$$ 表示第 $$ 个事件发生的时刻，$$ 表示在 $$ 时刻前最后一个事件发生的时刻，$$ 表示在 $$ 时刻后首次事件发生的时刻，令： $$ 称 $$ 为事件 A 的剩余寿命或剩余时间，$$ 为事件 A 的年龄。

定理：设 $$ 是参数为 $$ 的时齐 Poisson 过程，则有：

1. $$ 与 $$ 同分布，即： $$

2. $$ 为截尾的指数分布，即： $$

定理：若 $$ 独立同分布，又对 $$，$$ 与 $$ 同分布，分布函数为 $$，且 $$，则 $$ 为 Poisson 过程。

注意：$$ 表示第 $$ 个事件的寿命。

到达时间的条件分布

下面讨论在条件 $$ 下，$$ 的条件分布问题。

定理：设 $$ 为时齐 Poisson 过程，则对 $$，有： $$ 即 $$ 在 $$ 的条件下服从 $$.

定理：设 $$ 为时齐 Poisson 过程，则在已知条件 $$ 下，事件相继发生的时间 $$ 的条件概率密度为： $$

本定理说明，在 $$ 的条件下，事件相继发生的时间 $$ 的条件分布与 $$ 个在 $$ 上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数一样。

定理：设 $$ 为计数过程，$$ 独立同分布，若 $$ 且对 $$，有： $$ 则 $$ 为 Poisson 过程。

定理：设 $$ 为计数过程，$$ 独立同分布，若 $$，且对 $$，有： $$ 则 $$ 为 Poisson 过程。

这两个定理相当于前两个定理反过来，用来验证一个计数过程是否是 Poisson 过程。

更新过程

暂略。