基本概念及 Poisson 过程的一维分布
独立增量过程:设 是一随机过程,若对于任意 ,有随机过程 的增量: 相互独立,则称随机过程 是独立增量过程。
注:设独立增量过程的参数集 ,当初值给定时(一般假定 ),独立增量过程是一个 Markov 过程。
计数过程:在 内出现随机事件 的总数组成的过程 称为计数过程。计数过程满足:
- ;
- ;
- ,有 ;
- , 表示在时间间隔 内事件 出现的次数。
独立增量计数过程:若计数过程在不相交的时间间隔内事件 出现的次数是相互独立的,则称此计数过程为独立增量计数过程。
平稳增量计数过程:若计数过程在时间间隔 内出现事件 的次数只与时间差 有关,而与起始时间 无关,则称此计数过程为平稳增量计数过程。
Poisson 过程:定义计数过程 称为时齐(齐次)Poisson 过程,若满足:
;
是独立增量计数过程,即任取 , 相互独立;
是平稳增量计数过程:
增量是泊松的,即对任意 和充分小的 ,有: 其中 称为强度系数。
定理(Poisson 过程的一维分布):若 是时齐 Poisson 过程,则 ,有: 即 是一个参数为 的 Poisson 分布。
Poisson 过程与指数分布的关系
与
定义:设 是一计数过程,记:
- 表示第 个事件发生的时间,其中 .
- 表示第 个事件与第 个事件发生的时间间隔。
基本关系式:
若 是 Poisson 过程,则 的分布函数为: 概率密度函数为: 即 . 特别地,当 时,有: 即 是参数为 的指数分布(负指数分布)。
自然引出一个问题: 是否还是服从参数为 的指数分布?是否独立?
前置知识:求概率密度的微元法
一维情形:若随机变量 的概率密度 在 处连续,则: 多维情形:若随机向量 的概率密度 在点 处连续,则: 即:
前置知识:顺序统计量的分布
顺序统计量:给定 , 为其上的随机向量,,将试验结果 按从小到大顺序重新进行排列,记为 ,称 为 的顺序统计量。
设 是独立同分布非负随机变量,密度函数为 , 为相应顺序统计量,则利用微元法可以计算顺序统计量的概率密度函数为:
Poisson 过程与指数分布
定理:计数过程 是强度为 的时齐 Poisson 过程的充要条件是 是独立且参数同为 的指数分布。
此定理的结论非常重要,它反映了 Poisson 过程的本质特性,也为 Poisson 过程的计算机模拟提供了理论基础。
剩余寿命与年龄
设 为在 内事件 A 发生的个数, 表示第 个事件发生的时刻, 表示在 时刻前最后一个事件发生的时刻, 表示在 时刻后首次事件发生的时刻,令: 称 为事件 A 的剩余寿命或剩余时间, 为事件 A 的年龄。

定理:设 是参数为 的时齐 Poisson 过程,则有:
与 同分布,即:
为截尾的指数分布,即:
定理:若 独立同分布,又对 , 与 同分布,分布函数为 ,且 ,则 为 Poisson 过程。
注意: 表示第 个事件的寿命。
到达时间的条件分布
下面讨论在条件 下, 的条件分布问题。
定理:设 为时齐 Poisson 过程,则对 ,有: 即 在 的条件下服从 .
定理:设 为时齐 Poisson 过程,则在已知条件 下,事件相继发生的时间 的条件概率密度为:
本定理说明,在 的条件下,事件相继发生的时间 的条件分布与 个在 上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数一样。
定理:设 为计数过程, 独立同分布,若 且对 ,有: 则 为 Poisson 过程。
定理:设 为计数过程, 独立同分布,若 ,且对 ,有: 则 为 Poisson 过程。
这两个定理相当于前两个定理反过来,用来验证一个计数过程是否是 Poisson 过程。
更新过程
暂略。