[UCAS随机过程]3·Poisson过程

基本概念及 Poisson 过程的一维分布

独立增量过程:设 是一随机过程,若对于任意 ,有随机过程 的增量: 相互独立,则称随机过程 是独立增量过程。

注:设独立增量过程的参数集 ,当初值给定时(一般假定 ),独立增量过程是一个 Markov 过程。

计数过程:在 内出现随机事件 的总数组成的过程 称为计数过程。计数过程满足:

  1. ,有
  2. 表示在时间间隔 内事件 出现的次数。

独立增量计数过程:若计数过程在不相交的时间间隔内事件 出现的次数是相互独立的,则称此计数过程为独立增量计数过程。

平稳增量计数过程:若计数过程在时间间隔 内出现事件 的次数只与时间差 有关,而与起始时间 无关,则称此计数过程为平稳增量计数过程。

Poisson 过程:定义计数过程 称为时齐(齐次)Poisson 过程,若满足:

  1. 是独立增量计数过程,即任取 相互独立;

  2. 是平稳增量计数过程:

  3. 增量是泊松的,即对任意 和充分小的 ,有: 其中 称为强度系数。

定理(Poisson 过程的一维分布):若 是时齐 Poisson 过程,则 ,有: 是一个参数为 的 Poisson 分布

Poisson 过程与指数分布的关系

定义:设 是一计数过程,记:

  • 表示第 个事件发生的时间,其中 .
  • 表示第 个事件与第 个事件发生的时间间隔。

基本关系式

非常重要的两个关系式!

是 Poisson 过程,则 的分布函数为: 概率密度函数为: . 特别地,当 时,有: 是参数为 的指数分布(负指数分布)。

自然引出一个问题: 是否还是服从参数为 的指数分布?是否独立?

前置知识:求概率密度的微元法

一维情形:若随机变量 的概率密度 处连续,则: 多维情形:若随机向量 的概率密度 在点 处连续,则: 即:

前置知识:顺序统计量的分布

顺序统计量:给定 为其上的随机向量,,将试验结果 按从小到大顺序重新进行排列,记为 ,称 的顺序统计量。

是独立同分布非负随机变量,密度函数为 为相应顺序统计量,则利用微元法可以计算顺序统计量的概率密度函数为:

Poisson 过程与指数分布

定理:计数过程 是强度为 的时齐 Poisson 过程的充要条件是 是独立且参数同为 的指数分布。

此定理的结论非常重要,它反映了 Poisson 过程的本质特性,也为 Poisson 过程的计算机模拟提供了理论基础。

剩余寿命与年龄

为在 内事件 A 发生的个数, 表示第 个事件发生的时刻, 表示在 时刻前最后一个事件发生的时刻, 表示在 时刻后首次事件发生的时刻,令: 为事件 A 的剩余寿命或剩余时间, 为事件 A 的年龄。

定理:设 是参数为 的时齐 Poisson 过程,则有:

  1. 同分布,即:

  2. 为截尾的指数分布,即:

定理:若 独立同分布,又对 同分布,分布函数为 ,且 ,则 为 Poisson 过程。

注意: 表示第 个事件的寿命。

到达时间的条件分布

下面讨论在条件 下, 的条件分布问题。

定理:设 为时齐 Poisson 过程,则对 ,有: 的条件下服从 .

定理:设 为时齐 Poisson 过程,则在已知条件 下,事件相继发生的时间 的条件概率密度为:

本定理说明,在 的条件下,事件相继发生的时间 的条件分布与 个在 上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数一样。

定理:设 为计数过程, 独立同分布,若 且对 ,有: 为 Poisson 过程。

定理:设 为计数过程, 独立同分布,若 ,且对 ,有: 为 Poisson 过程。

这两个定理相当于前两个定理反过来,用来验证一个计数过程是否是 Poisson 过程。

更新过程

暂略。


[UCAS随机过程]3·Poisson过程
https://xyfjason.github.io/blog-main/2024/01/12/UCAS随机过程-3·Poisson过程/
作者
xyfJASON
发布于
2024年1月12日
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