Fourier Transform 3 (2D DFT, Image)

二维离散傅里叶变换

设是一个二元函数，其中 . 类似于一维的离散傅里叶变换和逆变换，二维离散傅里叶变换为：逆变换为：

同一维情形类似，我们也可以将二维 DFT 写作矩阵形式。视为的矩阵，记分别为次单位复数根和次单位复数根，构建矩阵：则二维离散傅里叶变换可以写作：进一步地，利用拉直算子以及 Kronecker 积的性质，上式也可写作：该形式与一维情形具有统一的形式，能方便后续的推导。

二维 DFT 的大部分性质可类比一维 DFT 的性质推广而来。

平移性质：设，则：

旋转性质：使用极坐标：，可得如下变换对：即若旋转角度，则也旋转相同的角度，反之亦然。

周期性：

共轭对称性：若是实函数，则是共轭对称的（实部偶函数，虚部奇函数），即：若是虚函数，则是共轭反对称的（实部奇函数，虚部偶函数），即：

频谱和功率谱：由于 DFT 是复函数，因此可以用极坐标表示：其中称为幅度谱，称为相位谱，二者统称为频谱。另外，功率谱定义为幅度谱的平方：

前文说到，对于实函数，其傅里叶变换是共轭对称的，于是容易知道其频谱是关于原点偶对称的，而相位谱是关于原点奇对称的：

二维循环卷积定理：设，则：

其中卷积依旧是循环卷积。

前文中我们研究的一元函数可以看作是时域信号，但是对于图像而言，时域信号这个说法显然不合适了。那应该怎么理解呢？

首先，一幅数字图像其实是一个二元函数，其中自变量是像素的坐标，函数值是像素的灰度级。因此，将图像在三维空间中绘制出来，就好像一个连绵不断的山脉，类似于信号波形的二维版本。只不过这里自变量表示空间位置而非时间，因此我们称之为空间域。

与时域信号类似，我们可以用无数个二维的不同角频率的正余弦函数去近似一幅图像。其中，图像变化比较剧烈的地方——比如边缘、纹理等细节，需要依靠高频的正余弦函数去拟合；相反，图像大体的构图就对应低频的正余弦函数。因此，我们经常把图像的细节称作高频分量，而整体构图称作低频分量。

对图像做二维离散傅里叶变换就得到了其频域表示，将频域表示的频谱可视化出来就是频谱图。频域滤波指在频谱图上使用一个滤波器对图像做滤波的过程。然而，出于可视化、浮点误差等考虑，下面我们关注对图像做频域滤波时一些值得注意的方面。

根据循环卷积定理，在空间域中做循环卷积等价于在频域中做乘法。然而，我们在图像处理中使用的卷积通常是 padding 0 的卷积，两种卷积方式导致的结果差别就是所谓的交叠误差。

幸运的是交叠误差很容易解决。设和分别是和的图像，则选取和，将和都往右下填充 0 直到大小，那么在频域中处理（对应循环卷积）与直接 padding 0 的卷积结果就一样了。

我们知道表示频率最低的分量，其值其实是图像所有位置的亮度之和：因此在频谱图上，这个点的亮度是最大的。又由于周期性，所以事实上四个角的亮度都很大，这不利于我们观察频谱图。因此，我们常常对频谱图做中心化，即将平移到的位置。根据傅里叶变换的平移性质，这相当于在做傅里叶变换之前先对乘以 .

另外，由于实在是太大了，当我们可视化出频谱图后其他地方的亮度很低，不利于观察，因此我们常常在可视化之前做如下对数变换：

理论上，傅里叶变换和逆变换是一对可逆操作，但是由于计算机存在浮点误差，实际操作中数值也许会稍有扰动。例如，数字图像原本是实值函数，在傅里叶变换到频域后执行某些滤波操作，然后傅里叶逆变换后理应得到实值函数，但实际中可能存在很小的虚部。因此，我们常常需要在逆变换后增加一个取实部的操作。

根据上文的讨论，在对图像进行频域滤波时有如下步骤：

数学图像处理

#image processing #signal processing

Fourier Transform 3 (2D DFT, Image)

https://xyfjason.github.io/blog-main/2023/12/27/Fourier-Transform-3-2D-DFT-Image/

作者

xyfJASON

发布于

2023年12月27日

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