Fourier Transform 1 (FS, FT)

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内积空间与正交基

在线性代数相关课程中我们学过，$n$ 维线性空间中的 $n$ 个线性无关向量构成了该空间的一组基，空间中的任一向量都可以唯一表示为这组基的线性组合。进一步地，如果在线性空间中定义内积运算，就得到了内积空间，内积为零的向量称作正交。

在更高阶的课程中，我们将上述有限维线性空间扩展到无穷维的情形，例如函数空间。然而，当空间维数从有限扩展到无穷时，许多结论需要小心推广。例如，无穷维空间中不一定存在一组基，使得任意向量都可以由基向量线性表示（更准确的说，由基向量的线性组合以任意精度逼近）。假若这样的基确实存在，我们称之为完备的。幸运的是，本文并不需要考虑不完备的情形。

具体地，让我们考察区间 $[a,b]$ 上所有平方可积函数按照通常的函数加法与数乘构成的线性空间 $\mathcal{R}$（请读者自行验证这确实是一个线性空间），并定义两个函数的内积为： $$\begin{array}{}\text{(1-1)}& ⟨f(x),g(x)⟩:={\int }_a^b{f}^{\ast }(x)g(x)\mathrm{d}x\end{array}$$ 其中 $f^{\ast }$ 表示取 $f$ 的共轭。注意，由于 $|f^{\ast }(x)g(x)|\le \frac{1}{2}(|f(x){|}^2+|g(x){|}^2)$，所以该积分存在；另外可以验证这确实是一个合法的内积。

在内积空间中，正交是非常好的性质，向量关于正交基的坐标（即组合系数）可以简单地推导出来。具体而言，设正交函数系 $\{{\phi }_n(x)\mid n\in \mathbb{N}\}$ 构成 $\mathcal{R}$ 的一个完备正交基，那么 $\mathcal{R}$ 中的任意函数 $f(x)$ 都可以唯一表示为该基的线性组合： $$\begin{array}{}\text{(1-2)}& f(x)=\sum _n{c}_n{\phi }_n(x)\end{array}$$ 为了计算系数 $c_n$，考虑 $f(x)$ 与 ${\phi }_n(x)$ 的内积： $$\begin{array}{}\text{(1-3)}& ⟨f(x),{\phi }_n(x)⟩=\sum _i{c}_i⟨{\phi }_i(x),{\phi }_n(x)⟩=c_n⟨{\phi }_n(x),{\phi }_n(x)⟩\end{array}$$

于是： $$\begin{array}{}\text{(1-4)}& c_n=\frac{⟨f(x),{\phi }_n(x)⟩}{⟨{\phi }_n(x),{\phi }_n(x)⟩}\end{array}$$ 注意到，给定正交函数系 $\{{\phi }_n(x)\}$ 后，式 $\text{(1-2)}$ 指示了已知 $c_n$ 求 $f(x)$ 的过程，式 $\text{(1-4)}$ 则指示了已知 $f(x)$ 求 $c_n$ 的过程，因此二者构成一个变换对： $$\begin{array}{}\text{(1-5)}& f(x)=\sum _n{c}_n{\phi }_n(x)⟺c_n=\frac{⟨f(x),{\phi }_n(x)⟩}{⟨{\phi }_n(x),{\phi }_n(x)⟩}\end{array}$$ 傅里叶级数不过就是取该正交函数系为三角函数系的特殊情形。

傅立叶级数 (FS)

以 $2\pi$ 为周期的周期函数

在区间 $[-\pi ,\pi ]$ 上，利用积化和差公式可以证明，如下的三角函数系两两正交： $$\begin{array}{}\text{(2-1)}& \{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots ,\cos nx,\sin nx,\dots \}\end{array}$$ 于是根据第一节的内容，$[-\pi ,\pi ]$ 上的平方可积函数 $f(x)$ 可以表示为该基的线性组合： $$\begin{array}{}\text{(2-2)}& f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\end{array}$$ 其中系数为： $$\begin{array}{}\text{(2-3)}& \begin{array}{rl}\frac{a_0}{2}& =\frac{⟨f(x),1⟩}{⟨1,1⟩}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm{d}x\\ a_n& =\frac{⟨f(x),\cos nx⟩}{⟨\cos nx,\cos nx⟩}=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\mathrm{d}x\\ b_n& =\frac{⟨f(x),\sin nx⟩}{⟨\sin nx,\sin nx⟩}=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\mathrm{d}x\end{array}\end{array}$$

那么 $[-\pi ,\pi ]$ 区间之外呢？由于正余弦函数的周期性，我们知道其余部分其实就是 $[-\pi ,\pi ]$ 上那一段函数的周期延拓。也就是说，上述公式对于以 $2\pi$ 为周期的连续函数 $f(x),x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 都是行之有效的。

一般周期函数

更一般地，如果周期函数 $$ 以 $$ 为周期（$$ 为任意正数），我们只需要相应地改变基函数的周期即可： $$ 那么 $$ 可以表示为该基的线性组合： $$ 其中系数为： $$

复指数形式

式 $$ 看起来比较冗长，因为上文只考虑了实数域；若在复数域上考虑，则可以把它们变得更简洁。利用欧拉公式 $$，有： $$ 代入 $$ 式得： $$ 其中 $$ 表示角频率，且系数为： $$ 这就是傅里叶级数的复指数形式。

当然，$$ 式也可以直接看作是 $$ 在下列正交基下的线性组合： $$ 其中系数为： $$

与 $$ 式一致。

狄利克雷条件

傅立叶级数是一个无穷级数，因此一个重要的问题是，级数是否收敛于 $$. 狄利克雷条件是级数收敛的充分条件：

1. 在任何一个周期中，$$ 只有有限个第一类间断点；
2. 在任何一个周期中，$$ 包含有限个极值点；
3. 在任何一个周期中，$$ 都绝对可积。

值得注意的是，狄利克雷条件只是充分条件，存在可以展开为傅立叶级数的函数不满足这些条件。最简单的例子就是正弦函数 $$，它本身就是傅立叶级数的一个基，自然能展开为傅立叶级数，但它明显不是绝对可积的。

时域、频域与可视化

周期函数 $$ 可以看作是一个连续的周期信号，自变量是时间，函数值为信号的值（在信号处理相关书籍中一般写作 $$），我们称之为信号的时域表示。例如下图是一个周期为 $$ 的矩形波：

https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/358423678

通过傅里叶级数展开 $$ 式，我们把 $$ 写作了不同角频率的正余弦信号的线性叠加。理论上，需要无数多个正余弦信号相叠加才能与原信号相等，但实际应用中不可能处理无限多项，只能在 $$ 足够大时做一个截断。截断的地方越大，有限项的傅里叶级数就越逼近原函数，如下图所示：

https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/358423678

由于这些正余弦信号是指定的，因此我们只需要计算出前面的系数 $$ 就能恢复出 $$. 考虑到 $$ 对应的是角频率为 $$ 的正余弦信号，所以我们称这种表示方法为信号的频域表示。为了直观，我们可以画一个直角坐标系，在横坐标为 $$ 处画一个高为 $$ 的柱子，这样就得到了 $$ 分量的直方图；类似地，将 $$ 画出来就是 $$ 分量的直方图。时域和频域是看待同一个周期函数的两个不同角度，如下图所示：

https://insightincmiami.org/data-visualization-using-the-fourier-transform/

不过，在信号处理中我们一般绘制的是幅度谱和相位谱，二者统称为频谱——其实和画 $$ 分量与 $$ 分量本质是一样的，只不过幅度和相位更具有物理意义罢了。具体而言，幅度和相位分别为： $$ 进一步地，功率也是一个常用的物理量，因此也有功率谱： $$

傅里叶变换 (FT)

周期延拓+取极限

通过傅里叶级数，我们将周期函数表达为了不同角频率的 $$ 和 $$ 函数的线性组合 $$ 式或 $$ 式。那么，非周期函数怎么办呢？

考虑一个有限长的函数 $$，将其以 $$ 为周期进行周期延拓，得到周期函数 $$，如图所示：

摘自网络，符号与本文有所不同。

那么，当周期趋近于无限大时，相邻小拷贝之间的距离就被无限拉大，我们构造的周期函数就趋近于原本的函数。

下面我们从 $$ 的傅立叶级数展开入手： $$ 由于在 $$ 上有 $$，因此 $$ 式可以写作： $$ 又由于在 $$ 上 $$，所以上式的积分上下限可以换成无穷： $$ 于是乎： $$

极限求和的形式让我们非常想将其变成积分。根据黎曼积分的定义： $$ 稍微改写一下： $$ 对比 $$ 式，可以发现 $$ 就是被积变量，紫色部分（关于 $$ 的函数）就是被积函数，因此： $$

这里 $$ 式就是傅里叶变换，它将信号从时域表示转换到频域表示；$$ 式就是傅里叶逆变换，它将信号从频域表示转换到时域表示。二者构成一个傅里叶变换对，记作： $$ 有时我们也用一个符号 $$ 来表示傅里叶变换，$$ 表示傅里叶逆变换，即： $$

狄利克雷条件

傅立叶变换是一个无穷积分，自然也要考虑其收敛问题。与傅里叶级数类似，傅立叶变换存在的充分条件是狄利克雷条件：

1. $$ 具有有限个第一类间断点；
2. $$ 具有有限个极值点；
3. $$ 绝对可积。

仍然需要注意狄利克雷条件只是充分条件，不满足这些条件的函数仍然可能具有傅立叶变换，可以参考本节末尾给出的常见傅立叶变换对。

直观理解与可视化

根据上面的推导过程，我们知道傅里叶变换就是周期延拓+傅里叶级数取极限。当 $$ 时，傅里叶级数中离散可数的角频率 $$ 变成了连续变量 $$，相当于原本是用离散可数个正余弦信号去逼近原信号，现在变成了用“连续个”信号去逼近（从自然语言的角度而言，量词“个”就隐含了离散可数的意思，所以这句话比较抽象）。从频谱图上看，相当于每一条“柱子”越来越靠近，最终连成一个连续的函数，也就是 $$ 的图像，如下图所示：

https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/358423678

等价形式

虽然 $$ 式和 $$ 式互为逆变换，但一个有系数一个没有系数，形式不是很对称，对强迫症不友好。不过好在做一点变量代换就可以解决这个问题：令 $$（黑色是原来的变量，蓝色是代换后的变量），那么： $$

然后再令 $$，那么： $$ 这样逆变换 $$ 和正变换 $$ 的形式就非常对称了。

另一种更简单的变量代换的方式是令 $$，那么： $$ 这样得到的变换对形式也是对称的。不同的书上可能会采用不同的形式，但它们本质都是等价的。

常用性质

记 $$，FT 具有以下常用性质。

线性性： $$

证明： $$ 证毕。

平移性质：

$$

证明： $$ 证毕。

缩放性质：设 $$ 为非零常实数，则： $$

证明：若 $$，则： $$ $$ 的情形类似。证毕。

共轭对称性：若 $$ 是实函数，则 $$ 是共轭对称的（实部偶函数，虚部奇函数），即： $$

证明： $$

若 $$ 是虚函数，则 $$ 是共轭反对称的（实部奇函数，虚部偶函数），即： $$ 证明类似，略去。

对偶性（互易性）：

$$

证明：对逆傅里叶变换 $$ 式做变量代换：$$，有： $$ 证毕。

微分关系：

$$

证明： $$ 对比傅立叶逆变换形式，可知： $$ 另一式同理可证。证毕。

卷积定理：卷积的定义： $$ 时域与频域卷积定理： $$ 即时域上的卷积等价于频域上的乘积，时域上的乘积等价于频域上的卷积。

证明时域卷积定理： $$ 证明频域卷积定理： $$ 两边同时做傅里叶变换即证。

常见变换对

单边指数函数：

$$

推导： $$

双边指数函数：

$$

推导： $$

矩形信号：

$$

推导： $$

符号函数：

$$

推导：符号函数不是绝对可积的，不满足狄利克雷条件，但也存在傅立叶变换。直接计算会发现结果不收敛，因此这里采用一个技巧：先计算 $$ 的傅立叶变换，再令 $$. $$

冲激函数（Dirac $$ 函数）：Dirac $$ 函数有助于将离散的序列表示为连续的函数，让我们能够用统一的形式同时表达离散和连续的情形。不严谨地说，它定义为在零点处的一个冲激： $$ 但要满足： $$ 这个限制条件也使得 Dirac $$ 函数成为一个合法的概率分布，因此它可以通过使某些概率分布（如正态分布）的方差参数趋向于 $$ 达到。

Dirac $$ 函数具备筛选性质，这是我们能将离散序列表达为连续函数的基础： $$ 或更一般地： $$ 筛选性质也被称为取样性质，因为上式相当于从 $$ 中取样了 $$.

由筛选性质易知 Dirac $$ 函数的傅里叶变换为： $$ 特别地，当 $$ 时，有： $$

常函数：

$$

推导：由于 $$，根据对偶性 $$ 式即可得到结论。

阶跃函数：

$$

推导：阶跃函数是常函数和符号函数的线性函数，根据傅立叶变换的线性性易得结论。

一般周期函数：周期函数不是绝对可积的，不满足狄利克雷条件，直接计算其傅立叶变换可能不收敛，对此可以采用如下方式计算。

设周期函数 $$ 的周期为 $$，角频率为 $$，则首先即将其展开为傅立叶级数 $$，于是根据线性性，可以逐项做傅立叶变换： $$ 又因为 $$，根据对偶性，有 $$. 令 $$，则 $$，代入上式得： $$

参考资料

1. Rafael C. Gonzalez. Digital Image Processing, Fourth Edition. ↩︎
2. John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Fourth Edition. ↩︎
3. 傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？ - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/358423678 ↩︎
4. 傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？ - Hsuty的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/2367861632 ↩︎
5. 傅里叶级数和傅里叶变换是什么关系？ - Jason Huang的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/21665935/answer/49282739 ↩︎
6. 傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导 - leinlin的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41875010 ↩︎
7. 积分变换（3）——傅里叶变换的性质 - tetradecane的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/108803395 ↩︎
8. Vinson88. 常用傅里叶变换对. 博客园. https://www.cnblogs.com/vinsonnotes/articles/15874610.html ↩︎