[UCAS矩阵论]6.3广义逆矩阵的计算方法

利用 Hermite 标准形计算 1-逆和 1,2-逆

定理：设 \(A\in\mathbb C_r^{m\times n}\)，又设 \(Q\in\mathbb C_m^{m\times m}\) 和 \(P\in\mathbb C_n^{n\times n}\) 使得 \[ QAP=\begin{bmatrix}I_r&K\\0&0\end{bmatrix} \] 成立（\(P\) 可以只是一个列置换矩阵），则对任意 \(L\in\mathbb C^{(n-r)\times (m-r)}\)，\(n\times m\) 矩阵 \[ X=P\begin{bmatrix}I_r&0\\0&L\end{bmatrix}Q \] 是 \(A\) 的 1-逆，若令 \(L=0\) 则 \(X\) 是 \(A\) 的 1,2-逆。

理论基础显然是上一节的 1-逆和 1,2-逆的通解形式，不过这里不要求 \(K=0\)，相应代价就是通解中的 \(C,D\) 这里必须是零，也就是说得到的是一种特解。

满秩分解求广义逆矩阵

定理：设 \(A\in\mathbb C_r^{m\times n}\) 的满秩分解为 \(A=FG\)，则：

1. \(G^{(i)}F^{(1)}\in A\{i\},\,i=1,2,4\).
2. \(G^{(1)}F^{(i)}\in A\{i\},\,i=1,2,3\).
3. \(G^{(1)}F^{+}\in A\{1,2,3\}\)，\(G^{+}F^{(1)}\in A\{1,2,4\}\).
4. \(A^+=G^+F^{(1,3)}=G^{(1,4)}F^+\).
5. \(A^+=G^+F^+=G^H(GG^H)^{-1}(F^HF)^{-1}F^H\).

由于 \(F\) 列满秩、\(G\) 行满秩，根据上一节 1-逆的性质 7，有 \(F^{(1)}F=GG^{(1)}=I_r\). 利用这一点，由定义即可验证 1 与 2。

3 和 4 可由 1 和 2 得到。5 利用了上一节关于行满秩与列满秩的矩阵的 \(A^+\) 公式。

Zlobec 公式计算 \(A^+\)

\[ A^+=A^H(A^HAA^H)^{(1)}A^H \]

证明（利用通解形式）：设 \(A=U\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}V^H\)，则： \[A^HAA^H=V\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}U^HU\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}V^HV\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}U^H=V\begin{bmatrix}\Sigma^3&0\\0&0\end{bmatrix}U^H\] 于是： \[(A^HAA^H)^{(1)}=U\begin{bmatrix}\Sigma^{-3}&C\\D&E\end{bmatrix}V^H\] 因此： \[A^H(A^HAA^H)^{(1)}A^H=V\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}U^HU\begin{bmatrix}\Sigma^{-3}&C\\D&E\end{bmatrix}V^HV\begin{bmatrix}\Sigma&0\\0&0\end{bmatrix}U^H=V\begin{bmatrix}\Sigma^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}U^H\] 这就是 \(A^+\) 的通解形式。证毕。

如果用方程形式去证明，需要一些引理的帮助，显得非常麻烦，这里不做叙述。不过这些引理中有一些值得注意，写在下面。

定理：设 \(A\in\mathbb C_r^{m\times n},\,U\in\mathbb C^{n\times p},\,V\in\mathbb C^{q\times m}\)，则 \[ U(VAU)^{(1)}V\in A\{1\}\iff \text{rank}(VAU)=\text{rank}(A) \]

这个定理是上一节 1-逆的性质 8 的扩展。回顾性质 8（做了变量替换）： \[\begin{align}&AU(AU)^{(1)}A=A\iff\text{rank}(AU)=\text{rank}(A)\\&A(VA)^{(1)}VA=A\iff\text{rank}(VA)=\text{rank}(A)\end{align}\] 第一条是在 \(A\) 的右边乘上 \(U\)，第二条是在 \(A\) 的左边乘上 \(V\)，而这个定理左右同时乘了 \(V\) 和 \(U\).

证明：充分性。由 \(\text{rank}(VAU)=\text{rank}(A)\) 知 \(R(VAU)=R(AU)=R(A),\,N(VAU)=N(VA)=N(A)\). 故存在 \(X,Y\) 使得 \(A=AUX=YVA\)，于是 \(AU(VAU)^{(1)}VA=YVAU(VAU)^{(1)}VAUX=YVAUX=YVA=A\).

必要性？？？TODO

定理：对任意矩阵 \(A\)，满足 \(X\in A\{1,2\}\) 和 \(R(X)=R(A^H),\,N(X)=N(A^H)\) 的唯一矩阵为 \(A^+\).

Greville 公式计算 \(A^+\)

Greville 公式是计算 \(A^+\) 的增量公式。

设 \(A\in\mathbb C^{m\times n}\)，记 \(a_k\) 为 \(A\) 的第 \(k\) 列，\(A_k\) 为 \(A\) 的前 \(k\) 列构成的子矩阵；又记： \[ d_k=A^+_{k-1}a_k,\quad c_k=a_k-A_{k-1}d_k \] 则： \[ A^+_k=\begin{bmatrix}A^+_{k-1}-d_kb_k^H\\b_k^H\end{bmatrix},\quad\text{where}\quad b_k^H=\begin{cases}c_k^+,&c_k\neq 0\\(1+d_k^Hd_k)^{-1}d_k^HA^+_{k-1},&c_k=0\end{cases} \]