[UCAS矩阵论]5.2广义特征值问题

广义特征值定义：设 \(A,B\) 为 \(n\) 阶方阵，若存在数 \(\lambda\)，使得方程 \(Ax=\lambda Bx\) 存在非零解，则称 \(\lambda\) 为 \(A\) 相对于 \(B\) 的广义特征值，\(x\) 为 \(A\) 相对于 \(B\) 的属于广义特征值 \(\lambda\) 的特征向量。

广义特征值求解：解 \((\lambda B-A)x=0\iff\det(\lambda B-A)=0\). 注意这里的特征多项式 \(\det(\lambda B-A)\) 不一定是 \(n\) 阶多项式，从而不一定有 \(n\) 个根。

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以下仅考虑 \(A,B\) 是正定 Hermite 矩阵的情形。

按 \(B\) 标准正交化：若向量系 \((x_1,\ldots,x_n)\) 满足： \[ (x_i,Bx_j)=\delta_{ij} \] 称该向量系为按 \(B\) 标准正交化的向量系。

广义特征值的等价表述 1：由于 \(B\) 正定，因此可逆，故： \[ Ax=\lambda Bx\implies B^{-1}Ax=\lambda x \] 转化为了标准特征值问题。但一般而言 \(B^{-1}A\) 不再是 Hermite 矩阵。

广义特征值的等价表述 2：由于 \(B\) 为 Hermite 矩阵，因此存在 Cholesky 分解，\(B=GG^H\)，其中 \(G\) 满秩，于是： \[ Ax=\lambda Bx\implies Ax=\lambda GG^Hx \] 令 \(y=G^Hx\)，则： \[ G^{-1}A(G^H)^{-1}y=\lambda y \] 转化为了标准特征值问题，且 \(G^{-1}A(G^H)^{-1}\) 仍然是 Hermite 矩阵，因此广义特征值为实数，设为 \(\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n\)，且存在一组正交归一化的特征向量 \((y_1,\ldots,y_n)\)，即： \[ \begin{align} &G^{-1}A(G^H)^{-1}y_i=\lambda y_i\\ &y_i^Hy_j=\delta_{ij} \end{align} \] 将 \(y\) 还原为 \(x\)，则： \[ y_i^Hy_j=(G^Hx_i)^H(G^Hx_j)=x_i^HGG^Hx_j=x_i^HBx_j=\delta_{ij} \] 即 \((x_1,\ldots,x_n)\) 按 \(B\) 带权正交。