[统计推断]第三章·常见分布族（二）

$$$$

本篇列举常见的连续分布。

1 均匀分布

$$f(x|a,b)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& x\in [a,b]\\ 0,& x\notin [a,b]\end{array}$$

期望： $$\mathbb{E}X={\int }_a^b\frac{x}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{a+b}{2}$$

方差 $$\mathrm{Var}X={\int }_a^b\frac{{(x-\frac{a+b}{2})}^2}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{(a-b{)}^2}{12}$$

2 伽玛分布

$\mathrm{\Gamma }$ 函数： $$\mathrm{\Gamma }(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$$ 利用分部积分法易得递推式： $$\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha ),\alpha >0$$ 又 $\mathrm{\Gamma }(1)=1$，因此对于正整数 $n$，$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$.

基于 $\mathrm{\Gamma }$ 函数，可以定义参数为 $(\alpha ,\beta )$ 的伽玛分布族： $$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}{x}^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta },0<x<+\mathrm{\infty },\alpha >0,\beta >0$$ 其中 $\alpha$ 主要影响分布的峰起状态，称为形状参数；$\beta$ 主要影响分布的散度情况，称为尺度参数；记该分布为 $\text{Gamma}(\alpha ,\beta )$.

期望 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}X& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }{e}^{-x/\beta }\mathrm{d}x\\ & =\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha }{e}^{-t}\mathrm{d}t& & t=x/\beta \\ & =\frac{\beta }{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\\ & =\alpha \beta \end{array}$$

二阶矩 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{X}^2& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\beta }^{\alpha }}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +1}{e}^{-x/\beta }\mathrm{d}x\\ & =\frac{{\beta }^2}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha +1}{e}^{-t}\mathrm{d}t& & t=x/\beta \\ & =\frac{{\beta }^2}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)\\ & =\alpha (\alpha +1){\beta }^2\end{array}$$

方差 $$

矩母函数：第二章已经推导过了 $$

伽玛分布与泊松分布：设 $$ 是参数为 $$ 的伽玛随机变量，其中 $$ 为整数，$$ 服从参数为 $$ 的泊松分布，则对任意 $$，都有： $$ Proof. 反复运用分部积分法。

3 $$ 分布

在伽玛分布中，若令 $$，其中 $$ 是整数，则伽玛概率密度函数变为： $$ 这是自由度为 $$ 的 $$ 概率密度函数。

4 指数分布

在伽玛分布中，若令 $$，则得到指数概率密度函数： $$

期望（分部积分易得） $$

方差（分部积分易得） $$

无记忆性：对任意 $$，有 $$

5 Weibull 分布

设 $$ 服从参数为 $$ 的指数分布，则 $$ 服从参数为 $$ 的 Weibull 分布，即其概率密度函数为： $$

推导：由于 $$ 是单调函数，根据第二章的结论可知： $$

Weibull 分布广泛引用于寿命分析和危险率函数的建模。

6 正态分布

$$ 服从参数为 $$ 的正态分布： $$ 记作 $$.

验证上述概率密度函数积分为 $$ 需要一些技巧，一个常见的证法是转换为二重积分。首先，作变量代换 $$，则易知我们只需要证明： $$ 我们计算其平方并使用极坐标换元： $$ 事实上，若令 $$，则上述积分本质是 $$，即： $$

期望 $$

方差 $$

矩母函数 $$

对正态分布的概率密度函数求导易知，其在 $$ 处取得极值，$$ 是拐点。

正态分布常用于近似其他分布，但怎样的近似足够好并无绝对的标准。以二项分布为例，经验上当 $$ 时，可使用 $$ 近似 $$.

但由于二项分布是离散分布，在近似时使用连续性校正可以使近似更精确：设 $$，$$，则： $$

7 贝塔分布

$$ 函数： $$ $$ 函数和 $$ 函数的关系： $$ 一般不直接处理 $$ 函数，而是用这个关系式转化成 $$ 函数。

贝塔分布： $$

$$ 阶矩 $$

期望 $$

二阶矩 $$

方差 $$

8 柯西分布

柯西分布是 $$ 上的一类对称钟形分布，概率密度函数为： $$ 第二章已经证明过，柯西分布期望不存在，于是任意阶矩也不存在，矩母函数亦不存在。

两个标准正态分布之比就是柯西分布。

9 对数正态分布

若 $$，则称 $$ 服从对数正态分布。利用第二章随机变量的单调函数相关结论，易知： $$

期望：设 $$，则： $$

二阶矩 $$

方差 $$

对数正态分布广泛应用于右偏变量的建模，例如工资。

10 双指数分布

将指数分布关于原点作对称并平移 $$ 个单位，就得到了双指数分布，其概率密度函数为： $$ 双指数分布是尾部很粗的对称分布，任意阶矩都存在。

期望 $$

方差 $$