[具体数学]第六章·特殊的数（第二部分）

第六章·特殊的数分7节，包括斯特林数、欧拉数、调和数、调和求和法、伯努利数、斐波那契数和连项式的内容。这是笔记第二部分，包括调和数、调和求和法、伯努利数。

调和数

从两个例子引入

例一

将 张长度为 纸牌摞在桌边，尽可能地向外伸出，求伸出长度。

我们放置牌的方法应是：上面 张牌的重心恰好在第 张牌的边缘处。设从上往下数第 张牌的边缘到第 张牌的边缘距离为 （），则： 这是一个 阶递推式，用经典的错位相减可以将其变成 阶递推式：

例二

一只蠕虫从一根 长的橡皮筋的一段开始爬行，每分钟爬行 ，同时橡皮筋被拉长 （拉长时，蠕虫在橡皮筋上到起点和终点的比例不变）。蠕虫是否能到达终点？

我们这样考虑：第 分钟后，蠕虫在橡皮筋的 处，第 分钟后，蠕虫在橡皮筋的 处……第 分钟后，蠕虫在橡皮筋的 处。由于 是发散的，蠕虫终会达到终点。

调和数与斯特林数的联系

回忆第一类斯特林数： 表示 个物品的 轮换数，满足递归式：，所以： 两边同时除以 ，得到： 于是得到：

调和数的估计，黎曼 $$ 函数，欧拉常数

调和数是发散的，一个广为人知的证明方式是按照 $$ 的幂次分组，这里不再赘述。

我们可以用积分去近似调和数： $$ 即： $$

对调和数进行推广，我们可以得到 $$ 次调和数： $$ 如果令 $$，那么我们得到黎曼 $$ 函数： $$

欧拉曾发现一个简洁的方法，利用广义调和数 $$ 来近似调和数 $$. 首先考虑无穷级数： $$

附注：令 $$，则： $$ 于是， $$ 故上述无穷级数成立。

求和有： $$ 于是我们就对 $$ 和 $$ 的差有一个表达式： $$ 当 $$ 时，有： $$ 称之为欧拉常数 $$，即： $$

调和求和法

例一

求： $$ 回忆分部求和法： $$ 由于 $$ 应用分部求和法有： $$

例二

求： $$ 方法1： $$ 方法2： $$ 于是 $$

例三

求： $$

将 $$ 二项展开得： $$ 回忆高阶差分公式： $$ 所以有： $$

现在，我们只需要求解： $$

将 $$ 拆开为 $$，则可以用 $$ 表示 $$： $$ 又 $$，故： $$ 所以，我们最终解得： $$

伯努利数

定义与自然数幂和

$$ 在研究 $$ 次幂和时发现了： $$ 其中伯努利数递归地定义为： $$ 前几个值为：

$$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$

证明：采用扰动法对 $$ 进行归纳： $$ 于是： $$ 假设伯努利的自然数幂和公式对 $$ 均成立，记 $$，那么： $$ 故： $$ 归纳完毕。

从一个幂级数推导的推论