[具体数学]第五章·二项式系数（第二部分）

第五章·二项式系数分8节，包含基本恒等式、生成函数、超几何函数、机械求和法等内容。这是笔记的第二部分，包括生成函数的内容。

至于超几何函数那块啊……呃……有点头秃……先放一放……

生成函数

对于一个无限序列 ，定义形式幂级数： 为该序列的普通生成函数（）。

用记号 表示 中 的系数，即：

这里用 而非 是因为我们常常把 视为复数。

运算

设 的生成函数分别为 ，则加减法： 乘法： 即乘积的系数 ，称序列 为序列 和 的卷积（convolution）。

用生成函数来发现和证明恒等式

二项式定理告诉我们： 是序列 的生成函数，即： 如果我们把 和 相乘，就得到了一个新的生成函数： 对比两边 的系数，就可以得到范德蒙德卷积式：

考虑 ，它是序列 的生成函数，我们把 和 相乘，就得到了一个新的生成函数： 对比两边 的系数，得到： 我们发现了一个新的恒等式。

二项式系数也出现在其它一些生成函数中，以下是一个重要的恒等式（特点：下指标不动，上指标变化）： $$ 即 $$ 是序列 $$ ($$ 是常数，$$ 是下标）的生成函数。

取 $$ 得到： $$ 即 $$ 是 $$ 的生成函数。

这特别有用，因为任何其他序列和 $$ 的卷积都是前缀和的序列，即 $$；如此，若 $$ 是 $$ 的生成函数，则 $$ 是 $$ 的生成函数。

应用：错排问题。我们之前用反演解决了，现在用生成函数来解决。

我们已知： $$ 上次是实施反演，这次两边同除 $$： $$ 注意 $$ 是序列 $$ 和 $$ 的卷积，而 $$ 的生成函数就是 $$，所以设 $$，那么 $$ 和 $$ 的乘积就是 $$，即： $$ 于是： $$ 比较系数得到： $$ 我们反演也是得到的这个式子。

启示：应用生成函数解决问题，常常是不断在封闭形式和展开式之间来回转化；麦克劳林级数天然就是一个生成函数。

广义二项级数和广义指数级数

定义： $$ 将在第7章证明： $$ （注意 $$ 时，$$. ）

$$ 注意到了它们满足恒等式： $$ 我们把这两组恒等式乘在一起，就得到一些新的恒等式。例如： $$ 同时，它又等于： $$ 于是比较系数，我们得到恒等式： $$ 类似的操作可以得到其他恒等式。下表列出一般的卷积恒等式（对整数 $$ 成立）： $$

我们取 $$ 为一些特殊值代入，可以得到一些用途广泛、非常重要的级数： $$ 其中，$$ 的系数 $$ 被称为 $$ 数 $$。

最后，给出一个推论，表明了 $$ 和 $$ 的关系： $$ 证：当 $$ 时， $$ 二者抵消。

于是我们利用 $$ 和 $$ 的封闭形式可以得到上述推论的封闭形式： $$ 类似的，我们有： $$