The “Sales Tax” Theorem

Link to this article: https://doi.org/10.1080/0025570X.1976.11976573

在数论中，我们有一个神奇的结论：

\(\textbf{Theorem A}\)：设 \(p_n\) 是第 \(n\) 个质数，\(\pi(n)\) 表示 \(\leqslant n\) 的质数个数，那么序列 \(\{n+\pi(n)\}\) 和序列 \(\{p_n+n-1\}\) 构成了对正整数的一个划分。

事实上，这个结论的正确性与质数没有关系！更普遍的情形是：

\(\textbf{Theorem B}\)：设 \(Q=\{q_n\}\) 是正整数序列的一个子序列（即 \(1\leqslant q_1<q_2<\cdots\)），令 \(\tau(n)\) 表示 \(Q\) 中 \(\leqslant n\) 的数的个数，那么序列 \(\{n+\tau(n)\}\) 和 \(\{q_n+n-1\}\)​ 构成了对正整数的一个划分。

为形象化表述，我们视 \(\{q_n\}\) 是一个税收表，每遇到 \(\{q_n\}\) 中的一项，税收 \(+1\)。那么对于原价为 \(n\) 的商品，它的税收为 \(\tau(n)\)，总价为 \(n+\tau(n)\)，于是所有商品的总价构成序列 \(\{n+\tau(n)\}\)。

考虑哪些数不会出现在总价序列中。注意，如果没有税收，那么总价随原价每加一而加一，构成一个连续的正整数序列；但是现在有了税收，于是每碰到一个 \(q_n\)，总价不仅随原价加一，还因为 \(q_n\) 再次加一，一共加二，这就导致总价跳过了一个数，正是这个数不会出现在总价序列中。假设我们从 \(n-1\) 到 \(n\) 变化时发生了这种情况，说明存在某个 \(k\) 使得 \(q_k=n\)，于是这个被跳过的数就是 \(n+\tau(n)-1=q_k+k-1\)（注意 \(\tau(q_k)=k\)）。所有被跳过的数构成序列 \(\{q_n+n-1\}\)，证毕。

应用 \(\textbf{Theorem B}\)，我们就可以得到一些结论。

设 \(\alpha>1\) 是一个实数，令 \(\{q_n\}=\{\lceil\alpha n\rceil\}\)，那么得到：\(\tau(n)=\left\lfloor n/\alpha\right\rfloor\)。根据 \(\textbf{Theorem B}\)，有：\(\left\{n+\left\lfloor n/\alpha\right\rfloor\right\}\) 和 \(\{\lceil\alpha n\rceil+n-1\}\) 构成了对正整数的一个划分。化简一下：\(\left\{n+\left\lfloor n/\alpha\right\rfloor\right\}=\left\{\left\lfloor n\left(1+1/\alpha\right)\right\rfloor\right\}\)，\(\{\lceil\alpha n\rceil+n-1\}=\{\lceil(\alpha+1) n\rceil-1\}\)。做代换：\(u=1+1/\alpha,\,v=1+\alpha\)​，得到：

\(\textbf{Theorem C}\)：对于 \(\forall u,v>1\) 满足 \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=1\)，\(\{\lfloor un\rfloor\}\) 和 \(\{\lceil vn\rceil-1\}\) 构成了对正整数的一个划分。

如果进一步对 \(\textbf{Theorem C}\) 特殊化处理，欲使 \(\lceil vn\rceil-1=\lfloor vn\rfloor\)，只需要 \(\forall n,\,vn\notin\mathbb{Z}\)，也即 \(v\) 是无理数；此时，\(u\)​ 显然也是无理数，于是我们有下述定理：

\(\textbf{Theorem D}\)：对于无理数 \(u,v>1\) 满足 \(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=1\)，\(\{\lfloor un\rfloor]\}\) 和 \(\{\lfloor vn\rfloor\}\) 构成了对正整数的一个划分。

我们把 \(\textbf{Theorem B}\) 应用到另一个函数上：设 \(m\in\mathbb{Z},\,m>1\)，\(q_n=n^m\)，则 \(\tau(n)=\left\lfloor\sqrt[m]{n}\right\rfloor\)​，于是：

\(\textbf{Theorem E}\)：设 \(m\in\mathbb{Z},\,m>1\)，序列 \(\{n+\lfloor n^{1/m}\rfloor\}\) 和 \(\{n^m+n-1\}\) 构成了对正整数的一个划分。

如果把 \(\textbf{Theorem B}\) 应用到 \(q_n=b^n\;(b\in\mathbb{Z},\,b>1)\) 上，得到：

\(\textbf{Theorem F}\)：设 \(b\in\mathbb{Z},\,b>1\)，序列 \(\{n+\lfloor\log_bn\rfloor\}\) 和 \(\{b^n+n-1\}\) 构成了对正整数的一个划分。

总而言之，我们可以根据自己的意愿取 \(q_n\) 为某种正整数的子序列，然后套用 \(\textbf{Theorem B}\)，就可以得到新的结论。