The “Sales Tax” Theorem

Link to this article: https://doi.org/10.1080/0025570X.1976.11976573

在数论中，我们有一个神奇的结论：

$\mathbf{\text{Theorem A}}$：设 $p_n$ 是第 $n$ 个质数，$\pi (n)$ 表示 $⩽n$ 的质数个数，那么序列 $\{n+\pi (n)\}$ 和序列 $\{p_n+n-1\}$ 构成了对正整数的一个划分。

事实上，这个结论的正确性与质数没有关系！更普遍的情形是：

$\mathbf{\text{Theorem B}}$：设 $Q=\{q_n\}$ 是正整数序列的一个子序列（即 $1⩽q_1<q_2<\cdots$），令 $\tau (n)$ 表示 $Q$ 中 $⩽n$ 的数的个数，那么序列 $\{n+\tau (n)\}$ 和 $\{q_n+n-1\}$​ 构成了对正整数的一个划分。

为形象化表述，我们视 $\{q_n\}$ 是一个税收表，每遇到 $\{q_n\}$ 中的一项，税收 $+1$。那么对于原价为 $n$ 的商品，它的税收为 $\tau (n)$，总价为 $n+\tau (n)$，于是所有商品的总价构成序列 $\{n+\tau (n)\}$。

考虑哪些数不会出现在总价序列中。注意，如果没有税收，那么总价随原价每加一而加一，构成一个连续的正整数序列；但是现在有了税收，于是每碰到一个 $q_n$，总价不仅随原价加一，还因为 $q_n$ 再次加一，一共加二，这就导致总价跳过了一个数，正是这个数不会出现在总价序列中。假设我们从 $n-1$ 到 $n$ 变化时发生了这种情况，说明存在某个 $k$ 使得 $q_k=n$，于是这个被跳过的数就是 $n+\tau (n)-1=q_k+k-1$（注意 $\tau (q_k)=k$）。所有被跳过的数构成序列 $\{q_n+n-1\}$，证毕。

应用 $\mathbf{\text{Theorem B}}$，我们就可以得到一些结论。

设 $\alpha >1$ 是一个实数，令 $\{q_n\}=\{\lceil \alpha n\rceil \}$，那么得到：$\tau (n)=\lfloor n/\alpha \rfloor$。根据 $\mathbf{\text{Theorem B}}$，有：$\{n+\lfloor n/\alpha \rfloor \}$ 和 $\{\lceil \alpha n\rceil +n-1\}$ 构成了对正整数的一个划分。化简一下：$\{n+\lfloor n/\alpha \rfloor \}=\left\{\lfloor n(1+1/\alpha )\rfloor \right\}$，$\{\lceil \alpha n\rceil +n-1\}=\{\lceil (\alpha +1)n\rceil -1\}$。做代换：$u=1+1/\alpha ,v=1+\alpha$​，得到：

$\mathbf{\text{Theorem C}}$：对于 $\mathrm{\forall }u,v>1$ 满足 $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=1$，$\{\lfloor un\rfloor \}$ 和 $\{\lceil vn\rceil -1\}$ 构成了对正整数的一个划分。

如果进一步对 $\mathbf{\text{Theorem C}}$ 特殊化处理，欲使 $\lceil vn\rceil -1=\lfloor vn\rfloor$，只需要 $\mathrm{\forall }n,vn\notin \mathbb{Z}$，也即 $v$ 是无理数；此时，$u$​ 显然也是无理数，于是我们有下述定理：

$\mathbf{\text{Theorem D}}$：对于无理数 $u,v>1$ 满足 $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=1$，$\{\lfloor un\rfloor ]\}$ 和 $\{\lfloor vn\rfloor \}$ 构成了对正整数的一个划分。

我们把 $$ 应用到另一个函数上：设 $$，$$，则 $$​，于是：

$$：设 $$，序列 $$ 和 $$ 构成了对正整数的一个划分。

如果把 $$ 应用到 $$ 上，得到：

$$：设 $$，序列 $$ 和 $$ 构成了对正整数的一个划分。

总而言之，我们可以根据自己的意愿取 $$ 为某种正整数的子序列，然后套用 $$，就可以得到新的结论。