[具体数学]第二章·和式（第二部分）

第二章·和式分7节，这是我的笔记第二部分，主要是有限微积分的内容。为什么单独把它拿出来呢？因为实在是太具有启发性了——特别是当把有限微积分和传统的无限微积分做类比的时候。

算子

我们在学习传统的无限微积分时，运算基于微分(derivative)算子 $D$： $$Df(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$$ 而有限微积分基于的是差分(difference)算子 $\mathrm{\Delta }$： $$\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+1)-f(x)$$

下降/上升阶乘幂

我们知道 $D$ 作用在幂函数 $f(x)=x^m$ 上得到：$D(x^m)=m{x}^{m-1}$，但是显然 $\mathrm{\Delta }(x^m)$ 没有这么好的规律。不过它对“下降阶乘幂”有这样的好规律。

下降阶乘幂： $$x^{\underset{―}{m}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-m+1)$$ 上升阶乘幂： $$x^{\bar{m}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+m-1)$$ 下面说明差分算子适用于下降阶乘幂： $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }(x^{\underset{―}{m}})& ={(x+1)}^{\underset{―}{m}}-x^{\underset{―}{m}}\\ & =(x+1)x\cdots (x-m)-x(x-1)\cdots (x-m+1)\\ & =mx(x-1)\cdots (x-m)\\ & =m{x}^{\underset{―}{m-1}}\end{array}$$ （注意：对上升阶乘幂适用的算子是：$\mathrm{\nabla }f(x)=f(x)-f(x-1)$ ）

积分与和式

我们知道无限微积分中，微分的逆运算是积分；类似地，有限微积分中，差分的逆运算就是和式。

不定积分与不定和式： $$\begin{array}{rl}g(x)=Df(x)& ⟺f(x)=\int g(x)\mathrm{d}x+C\\ g(x)=\mathrm{\Delta }f(x)& ⟺f(x)=\sum g(x)\delta x+C\end{array}$$ 在不定和式中，$\sum g(x)\delta x$ 表示差分等于 $f(x)$ 的一个函数类，$C$ 可以是满足 $p(x+1)=p(x)$ 的任意一个函数 $p(x)$.

定积分与和式： $$

基于我们已经建立的理论，我们类比无限微积分，可以得到一些结果： $$

应用：求 $$ 的封闭形式。为此，只需要注意到：$$，那么有： $$ 事实上，根据斯特林数，我们总能在幂和阶乘幂之间进行转换。

阶乘幂还有一些其他性质，比如满足二项式定理：$$，$$.

阶乘幂推广到负指数

$$

有了它之后，我们可以写出类似于 $$ 的法则： $$

并且差分算子依旧适用于负指数： $$ 于是乎，类比幂函数的积分，我们有对阶乘幂的求和： $$ 而当 $$ 时，$$，我们想找到一个 $$ 的有限模拟，即找到函数 $$，使得 $$. 显然，调和数 $$ 满足条件。所以我们有： $$ 如果我们想找到一个 $$ 的有限模拟，即找到函数使得 $$，容易知道：$$.

分部求和

回忆一下分部积分公式的推导过程： $$ 我们推导一下分部求和公式： $$ 引入移位算子 $$： $$ 那么： $$

练习：求 $$ 的封闭形式。

解： $$

差分-求和表

学无限微积分的时候会背常用的导数和积分表，那对于有限微积分可以总结如下：