[具体数学]第二章·和式（第二部分）

第二章·和式分7节，这是我的笔记第二部分，主要是有限微积分的内容。为什么单独把它拿出来呢？因为实在是太具有启发性了——特别是当把有限微积分和传统的无限微积分做类比的时候。

算子

我们在学习传统的无限微积分时，运算基于微分(derivative)算子 \(D\)： \[ Df(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \] 而有限微积分基于的是差分(difference)算子 \(\Delta\)： \[ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x) \]

下降/上升阶乘幂

我们知道 \(D\) 作用在幂函数 \(f(x)=x^m\) 上得到：\(D(x^m)=mx^{m-1}\)，但是显然 \(\Delta(x^m)\) 没有这么好的规律。不过它对“下降阶乘幂”有这样的好规律。

下降阶乘幂： \[ x^{\underline m}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-m+1) \] 上升阶乘幂： \[ x^{\overline m}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+m-1) \] 下面说明差分算子适用于下降阶乘幂： \[ \begin{align} \Delta(x^{\underline m})&={(x+1)}^{\underline m}-x^{\underline m}\\ &=(x+1)x\cdots(x-m)-x(x-1)\cdots(x-m+1)\\ &=mx(x-1)\cdots(x-m)\\ &=mx^{\underline {m-1}} \end{align} \] （注意：对上升阶乘幂适用的算子是：\(\nabla f(x)=f(x)-f(x-1)\) ）

积分与和式

我们知道无限微积分中，微分的逆运算是积分；类似地，有限微积分中，差分的逆运算就是和式。

不定积分与不定和式： \[ \begin{align}g(x)=Df(x)&\iff f(x)=\int g(x)\mathrm dx+C\\g(x)=\Delta f(x)&\iff f(x)=\sum g(x)\delta x+C\end{align} \] 在不定和式中，\(\sum g(x)\delta x\) 表示差分等于 \(f(x)\) 的一个函数类，\(C\) 可以是满足 \(p(x+1)=p(x)\) 的任意一个函数 \(p(x)\).

定积分与和式： \[ \begin{align}\int_a^b g(x)\mathrm dx&=f(b)-f(a)\\\sum\nolimits_a^b g(x)\delta x&=f(b)-f(a)\end{align} \]

基于我们已经建立的理论，我们类比无限微积分，可以得到一些结果： \[ \sum_{k=0}^{n-1}k^{\underline m}=\sum\nolimits_0^nk^{\underline m}\delta k=\frac{k^{\underline{m+1}}}{m+1}\Bigg|_0^n=\frac{n^{\underline{m+1}}}{m+1} \]

应用：求 \(\square_n=\sum\limits_{k=0}^nk^2\) 的封闭形式。为此，只需要注意到：\(k^2=k^{\underline 2}+k^{\underline 1}\)，那么有： \[ \sum_{k=0}^nk^2=\sum\nolimits_0^{n+1}(k^{\underline 2}+k^{\underline 1})\delta k=\frac{(n+1)^{\underline 3}}{3}+\frac{(n+1)^{\underline 2}}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \] 事实上，根据斯特林数，我们总能在幂和阶乘幂之间进行转换。

阶乘幂还有一些其他性质，比如满足二项式定理：\((x+y)^{\underline m}=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{\underline k}y^{\underline {m-k}}\)，\((x+y)^{\overline m}=\sum\limits_{k=0}^m\binom{m}{k}x^{\overline k}y^{\overline {m-k}}\).

阶乘幂推广到负指数

\[ x^{\underline {-m}}=\frac{1}{(x+1)(x+2)\cdots(x+m)}\quad,m>0 \]

有了它之后，我们可以写出类似于 \(x^{m+n}=x^m\cdot x^n\) 的法则： \[ x^{\underline {m+n}}=x^{\underline m}\cdot{(x-m)}^{\underline{n}} \]

并且差分算子依旧适用于负指数： \[ \begin{align} \Delta x^{\underline{-m}}&=\frac{1}{(x+2)\cdots(x+m+1)}-\frac{1}{(x+1)\cdots(x+m)}\\ &=\frac{1}{(x+2)\cdots(x+m)}\left(\frac{1}{x+m+1}-\frac{1}{x+1}\right)\\ &=-m\frac{1}{(x+1)\cdots(x+m+1)}\\ &=-mx^{\underline {-(m+1)}} \end{align} \] 于是乎，类比幂函数的积分，我们有对阶乘幂的求和： \[ \begin{align} &\int_a^bx^m\mathrm dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\Bigg|_a^b=\frac{b^{m+1}}{m+1}-\frac{a^{m+1}}{m+1}\quad,m\neq-1\\ &\sum\nolimits_a^bx^{\underline m}\delta x=\frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}\Bigg|_a^b=\frac{b^{\underline{m+1}}}{m+1}-\frac{a^{\underline{m+1}}}{m+1}\quad,m\neq-1 \end{align} \] 而当 \(m=-1\) 时，\(\int_a^bx^{-1}\mathrm dx=\ln x\Big|_a^b=\ln b-\ln a\)，我们想找到一个 \(\ln x\) 的有限模拟，即找到函数 \(f(x)\)，使得 \(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=x^{\underline{-1}}=\frac{1}{x+1}\). 显然，调和数 \(H_x=\sum\limits_{k=1}^x\frac{1}{k}\) 满足条件。所以我们有： \[ \sum\nolimits_a^bx^{\underline m}\delta x=\begin{cases} \frac{x^{\underline{m+1}}}{m+1}\Bigg|_a^b&,m\neq-1\\ H_x\Big|_a^b&,m=-1 \end{cases} \] 如果我们想找到一个 \(e^x\) 的有限模拟，即找到函数使得 \(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=f(x)\)，容易知道：\(f(x)=2^x\).

分部求和

回忆一下分部积分公式的推导过程： \[ \mathrm d(uv)=u\mathrm dv+v\mathrm du\implies\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du \] 我们推导一下分部求和公式： \[ \begin{align} \Delta(u(x)v(x))&=u(x+1)v(x+1)-u(x)v(x)\\ &=v(x+1)\big[u(x+1)-u(x)\big]+u(x)\big[v(x+1)-v(x)\big]\\ &=v(x+1)\Delta u(x)+u(x)\Delta v(x) \end{align} \] 引入移位算子 \(E\)： \[ Ef(x)=f(x+1) \] 那么： \[ \begin{align} &\Delta\big(u(x)v(x)\big)=Ev(x)\Delta u(x)+u(x)\Delta v(x)\\\implies &\sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u \end{align} \]

练习：求 \(\sum\limits_{k=0}^nk2^k\) 的封闭形式。

解： \[ \begin{align} \sum_{k=0}^nk2^k&=\sum\nolimits_0^{n+1}k2^k\delta k=\sum\nolimits_0^{n+1}k\delta2^k=k2^k\Big|_0^{n+1}-\sum\nolimits_0^{n+1}2^{k+1}\delta k\\&=(n+1)2^{n+1}-2^{n+2}+2=(n-1)2^{n+1}+2 \end{align} \]

差分-求和表

学无限微积分的时候会背常用的导数和积分表，那对于有限微积分可以总结如下：

\(f=\sum g\)	\(\Delta f=g\)
\(x^{\underline m}\)	\(mx^{\underline{m-1}}\)
\(H_x\)	\(\frac{1}{x+1}\)
\(c^x\)	\((c-1)c^x\)
\(uv\)	\(u\Delta v+Ev\Delta u\)