[NOIP2009 T3]最优贸易(分层图spfa / 两次spfa / tarjan + topo)
题目
描述
$C$ 国有 $n$ 个大城市和 $m$ 条道路,每条道路连接这 $n$ 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$ 条。
$C$ 国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的同时,利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 n 个城市的标号从 $1 \sim n$ ,阿龙决定从 $1$ 号城市出发,并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中,任何城市可以重复经过多次,但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费:他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球,并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球,用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游,他决定这个贸易只进行最多一次,当然,在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 $n$ 个城市的水晶球价格, $m$ 条道路的信息(每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况)。请你告诉阿龙,他最多能赚取多少旅费。
输入
第一行包含 $2$ 个正整数 $n$ 和 $m$ ,中间用一个空格隔开,分别表示城市的数目和道路的数目。
第二行 $n$ 个正整数,每两个整数之间用一个空格隔开,按标号顺序分别表示这 $n$ 个城市的商品价格。
接下来 $m$ 行,每行有 $3$ 个正整数 $x,y,z$ ,每两个整数之间用一个空格隔开。如果 $z=1$ ,表示这条道路是城市 $x$ 到城市 $y$ 之间的单向道路;如果 $z=2$ ,表示这条道路为城市 $x$ 和城市 $y$ 之间的双向道路。
输出
一 个整数,表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易,则输出 $0$ 。
输入样例
1 | 5 5 |
输出样例
1 | 5 |
数据范围
输入数据保证 $1$ 号城市可以到达 $n$ 号城市。
对于 10%的数据, $1≤n≤6$ 。
对于 30%的数据, $1≤n≤100$ 。
对于 50%的数据,不存在一条旅游路线,可以从一个城市出发,再回到这个城市。
对于 100%的数据,$1≤n≤100000$ ,$1≤m≤500000$ , $1≤x$ , $y≤n$ , 1≤z≤21≤z≤2 , $1≤$ 各城市水晶球价格 $≤100$ 。
解题思路(共3种方法)
法1——分层图spfa
分层图是一个神奇的东西,建的好可以大大简化题目。
针对这道题,我们可以把图分三层:
- 第一层表示买之前,第二层表示买之后卖之前,第三层表示卖之后;
- 每一层内部边权设为 $0$;
- 对于一个点 $i$,设 $i$ 能到 $j$,则从 $i$ 连一条边权为 $-v[i]$ 的单向边到 $j+n$(即 $j$ 在第二层图中对应的点),表示在 $i$ 买入后走到 $j$;
- 同理,从 $i+n$ 连一条边权为 $v[i]$ 的单向边到 $j+n+n$(即 $j$ 在第三层图中对应的点),表示在 $i$ 卖出后走到 $j$;
- 最后将 $n$ 和 $n+n+n$ 都连向一个终点 $T$。
那么,从 $1$ 出发到 $T$,要么一直在第一层中移动,表示没有进行买卖;要么从第一层经过第二层到达第三层,表示经过了一次买卖操作。可以发现,这样我们就把所有买卖情况考虑到了,因此,最后做一个简单的spfa找最长路即可。
法2——两次spfa
设 $minPrice[i]$ 表示从 $1$ 到 $i$ 的路线中经过的最小价格,$maxPrice[i]$ 表示从 $i$ 到 $n$ 的路线中经过的最大价格,那么 $ans = \max\limits_{i=1}^{n} (maxPrice[i]-minPrice[i])$
可以先正向用 spfa 求出 $minPrice$,再反向用 spfa 求出 $maxPrice$
法3——tarjan+topo
从50%的数据范围中得到启发,如果原图是一个DAG,那么我们可以用拓扑序得到答案:用拓扑序遍历该图,同时记录下历史最小价格,每到一个点用它的价格减去历史最小价格来更新答案,最后就能得到最大利润了。
但是原图可能存在环,怎么办?我们可以用 tarjan 缩点。因为在同一个强连通分量中可以随意走动,所以缩点后新点的最低价格就是强连通分量中的最低价格,新点的最高价格就是强连通分量中的最高价格,于是我们成功把图转成了一个DAG,就可以用上述方法解决问题了。
Code#1
分层图spfa
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Code#2
两次spfa
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Code#3
tarjan+topo
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