[NOIP2017 D1 T1]小凯的疑惑（数论）

题目

描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

输入

输入数据仅一行，包含两个正整数 $a$ 和 $ b $，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手 中金币的面值。

输出

输出文件仅一行，一个正整数 $ N $，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

样例输入

3 7

样例输出

11

样例说明

小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1、 2、4、5、8、11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比 11 贵的物品都能买到，比如：
$ 12 = 3 \times 4 + 7 \times 0 $
$ 13 = 3 \times 2 + 7 \times 1 $
$ 14 = 3 \times 0 + 7 \times 2 $
$ 15 = 3 \times 5 + 7 \times 0 $

数据范围与约定

对于 30%的数据： $ 1 \le a,b \le 50 $。
对于 60%的数据： $ 1 \le a,b \le 10^4 $。
对于 100%的数据：$ 1 \le a,b \le 10^9 $。

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解题思路

因为$ (a,b) = 1 $，所以$ {a, 2a, 3a, …, (b-1)a} $为模$ b $的完全剩余系。
设$ T $是一个$ a, b $无法表示的数且$ T \equiv ka(mod \ b) $，$ (1 \le k \le b-1) $.
若$ T \ge ka $，则$ T $一定可以表示为$ ka+nb $，$ (n \ge 0) $，所以$ T < ka $，则此时$ T $最大为$ ka-b $.
显然，当$ k $最大时$ T $最大，所以$ T = (b-1)a-b = ab - a - b $.

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Code

# include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a, b;
int main(){
    scanf("%lld%lld", &a, &b);
    printf("%lld",  a * b - a - b);
    return 0;
}